Сколько битов необходимо для дискретизации сигнала, чтобы приближенное значение напряжения имело ошибку не более

Чтобы решить эту задачу, нам нужно учесть несколько факторов. Давайте пошагово рассмотрим все детали.

Первым шагом мы должны понять, какая точность требуется для приближенного значения напряжения. В данном случае требуется ошибка не более 1%. Это означает, что разница между измеренным значением и фактическим значением напряжения не должна превышать 1% от фактического значения.

Теперь давайте разберемся с тем, какой диапазон значений напряжения нам нужно учесть при дискретизации. Для этого нам понадобится знать минимальное и максимальное значение напряжения, которое мы ожидаем. Предположим, что минимальное значение напряжения равно \(V_{\text{min}}\) Вольт, а максимальное значение равно \(V_{\text{max}}\) Вольт.

Теперь мы можем перейти к основной части задачи - определению количества битов, необходимых для дискретизации сигнала.

Пусть \(N\) будет количеством битов, которые будут использованы для представления значения напряжения. Таким образом, у нас будет \(2^N\) различных значений напряжения, которые мы можем представить с использованием двоичного кода.

Теперь давайте рассмотрим шаг между двумя соседними значениями. Шаг, который мы можем представить, будет разницей между максимальным и минимальным значением напряжения, деленной на количество значений, которые мы можем представить. Мы можем выразить это следующим образом:

\[
\text{Шаг} = \frac{{V_{\text{max}} - V_{\text{min}}}}{{2^N}}
\]

Теперь мы можем рассчитать, насколько разница между измеренным значением и фактическим значением напряжения может быть больше 1%. Для этого нужно учесть половину шага (так как округляем до наименьшего значения). То есть мы можем записать это как:

\[
\text{Погрешность} = \frac{{\text{Шаг}}}{2}
\]

Наконец, мы можем рассчитать требуемое количество битов \(N\) с использованием следующего соотношения:

\[
\text{Погрешность} \leq 0.01 \times V_{\text{max}}
\]

Подставим выражение для погрешности:

\[
\frac{{\text{Шаг}}}{2} \leq 0.01 \times V_{\text{max}}
\]

Теперь, зная выражение для шага, мы можем еще раз записать это как:

\[
\frac{{V_{\text{max}} - V_{\text{min}}}}{{2^N}} \leq 0.01 \times V_{\text{max}}
\]

Упростим это выражение:

\[
V_{\text{max}} - V_{\text{min}} \leq 0.01 \times V_{\text{max}} \times 2^N
\]

Теперь давайте избавимся от \(V_{\text{max}}\) в обоих частях неравенства:

\[
1 - \frac{{V_{\text{min}}}}{{V_{\text{max}}}} \leq 0.01 \times 2^N
\]

Теперь мы можем решить это неравенство относительно \(N\). Сначала получим \(2^N\) по одну сторону:

\[
\frac{{1 - \frac{{V_{\text{min}}}}{{V_{\text{max}}}}}}{{0.01}} \leq 2^N
\]

Затем возьмем логарифм обеих сторон по основанию 2:

\[
\log_2\left(\frac{{1 - \frac{{V_{\text{min}}}}{{V_{\text{max}}}}}}{{0.01}}\right) \leq N
\]

Теперь мы можем найти минимальное значение \(N\), которое удовлетворяет это неравенство. Обратите внимание, что здесь будет использоваться функция логарифма по основанию 2 (логарифм среди равенств \(N = \log_2(x)\)).

Таким образом, мы можем решить эту задачу, найдя значение логарифма среди равенств \(\log_2\left(\frac{{1 - \frac{{V_{\text{min}}}}{{V_{\text{max}}}}}}{{0.01}}\right)\) и округлив его до ближайшего целого числа в большую сторону.

Надеюсь, этот пошаговый разбор помог вам понять, как определить количество битов, необходимых для дискретизации сигнала с заданной точностью. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!