Середины сторон mn, nk, кр и рм выпуклого четырёхугольника mnkp обозначим как точки А, В, С и D соответственно. Найдите

Давайте решим эту задачу пошагово для лучшего понимания.
По условию задачи, периметр параллелограмма \(abcd\) равен 36 см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон. Так как \(mnkp\) - выпуклый четырехугольник, то длина стороны \(ab\) равна длине стороны \(cd\), а длина стороны \(bc\) равна длине стороны \(ad\).

Так как ВС в 3 раза меньше, мы можем обозначить длину стороны \(bc\) как \(3x\), где \(x\) - неизвестное значение. Значит, длина стороны \(ad\) будет равна \(3x\) также.

Теперь мы можем записать уравнение для периметра параллелограмма:

\[ab + bc + cd + da = 36 \text{ см}\]

Подставим значения сторон в уравнение:

\[2mn + 2nk + 2kp + 2pm = 36 \text{ см}\]

Упростим выражение, разделив все члены на 2:

\[mn + nk + kp + pm = 18 \text{ см}\]

Мы знаем, что \(ABC\) и \(BCD\) - треугольники с общей стороной \(BC\) и с одной общей точкой \(B\), которая является серединой стороны \(nk\). Значит, \(ABC\) и \(BCD\) - равные треугольники, а значит, их высоты равны.

Так как \(AC\) и \(BD\) - диагонали параллелограмма, и они пересекаются в точке \(B\), то \(AC\) и \(BD\) являются высотами треугольников \(ABC\) и \(BCD\) соответственно.

Поэтому, чтобы найти высоты треугольников \(ABC\) и \(BCD\), нам необходимо найти длины сторон \(AD\) и \(BC\) в четырехугольнике \(mnkp\).

Так как \(mnkp\) - выпуклый четырехугольник, то длина стороны \(AD\) равна длине стороны \(kp\) и равна \(3x\).

Также, у нас есть информация о длине стороны \(BC\), которая равна \(3x\).

Теперь мы можем найти высоты треугольников \(ABC\) и \(BCD\) по формуле площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Для треугольника \(ABC\), площадь равна \(\frac{1}{2} \times BC \times AD\), а для треугольника \(BCD\), площадь равна \(\frac{1}{2} \times BC \times AD\).

Так как треугольники \(ABC\) и \(BCD\) равны, их площади равны. Поэтому, высоты треугольников также равны.

Найдем площадь одного из треугольников:

\[\text{Площадь треугольника }ABC = \frac{1}{2} \times 3x \times 3x = \frac{9}{2}x^2 \text{ см}^2\]

Так как площади треугольников равны, площадь треугольника \(BCD\) также равна \(\frac{9}{2}x^2\) см\(^2\).

Но мы можем также выразить площадь треугольника \(BCD\) через стороны этого треугольника, с помощью формулы Герона:

\[\text{Площадь треугольника }BCD = \sqrt{p(p-BC)(p-BD)(p-CD)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника \(BCD\).

Так как треугольник \(BCD\) - равнобедренный треугольник с основанием \(BC\), длина стороны \(BC\) равна \(3x\), а длина стороны \(BD\) равна \(3x\), то формула Герона для площади может быть записана следующим образом:

\[\text{Площадь треугольника }BCD = \sqrt{p(p-3x)(p-3x)(p-CD)} = \sqrt{p(p-3x)^2 \cdot CD}\]

Таким образом, мы получаем уравнение для площади треугольника \(BCD\):

\[\frac{9}{2}x^2 = \sqrt{p(p-3x)^2 \cdot CD}\]

К сожалению, у нас нет достаточной информации для решения этого уравнения и нахождения значения стороны \(CD\). Нам также не дано никаких других ограничений для четырехугольника \(mnkp\), которые бы позволили нам определить длины его диагоналей.

Поэтому, без дополнительной информации, мы не можем найти длины диагоналей четырехугольника \(mnkp\).