Сделаны два выстрела на мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка составляет 0,8, а для второго

Добро пожаловать в урок математики!

Задача заключается в том, чтобы сформулировать закон распределения числа попаданий в мишень и найти его математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины.

Для начала, давайте рассмотрим возможные значения случайной величины - число попаданий в мишень. В данной задаче каждый стрелок выполняет по одному выстрелу, поэтому количество попаданий может быть либо 0, либо 1, так как невозможно попасть в мишень больше одного раза за один выстрел.

Следующий шаг - расчет вероятности каждого значения случайной величины. У нас есть два стрелка, поэтому нужно учесть их вероятности попадания.

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка составляет 0,8, а для второго - 0,7.

Теперь формулируем закон распределения числа попаданий в мишень:

X - случайная величина, обозначающая число попаданий в мишень.
X может принимать значения 0 и 1.

Теперь, чтобы найти вероятность каждого значения, мы можем использовать следующую формулу:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где
- n - количество испытаний,
- k - количество успешных / попаданий (в нашем случае 0 или 1),
- p - вероятность успеха (вероятность попадания в мишень).

Таким образом, в нашем случае:

Для X=0:
\[P(X=0) = C(2,0) \cdot 0.8^0 \cdot 0.2^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0.04 = 0.04\]

Для X=1:
\[P(X=1) = C(2,1) \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^1 = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 0.32\]

Итак, мы получаем следующий закон распределения числа попаданий в мишень:
\[P(X=0) = 0.04\]
\[P(X=1) = 0.32\]

После этого можно найти математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание (или среднее значение) для данной случайной величины можно найти, используя следующую формулу:
\[E(X) = \sum{k \cdot P(X=k)}\]

В нашем случае:
\[E(X) = 0 \cdot 0.04 + 1 \cdot 0.32 = 0 + 0.32 = 0.32\]

Теперь рассчитаем дисперсию. Дисперсия показывает, насколько сильно значения переменной отклоняются от среднего значения, и она рассчитывается по следующей формуле:

\[Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\]

Сначала найдем \(E(X^2)\):
\[E(X^2) = 0^2 \cdot 0.04 + 1^2 \cdot 0.32 = 0 + 0.32 = 0.32\]

Теперь рассчитаем дисперсию:
\[Var(X) = 0.32 - (0.32)^2 = 0.32 - 0.1024 = 0.2176\]

Теперь давайте построим функцию распределения данной случайной величины и ее график.

Функция распределения случайной величины X определяется как сумма вероятностей всех значений, меньших или равных возможному значению X.

Для X = 0:
\[F(X=0) = P(X=0) = 0.04\]

Для X = 1:
\[F(X=1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.04 + 0.32 = 0.36\]

Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
\[F(X) = \begin{cases}
0, & X < 0 \\
0.04, & 0 \leq X < 1 \\
0.36, & X \geq 1
\end{cases}\]

А теперь, давайте построим график функции распределения.