С какой минимальной высоты должно начинаться движение небольшого тела по наклонной плоскости, чтобы оно плавно

Для того чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы сохранения энергии.

Скорость тела в момент достижения "мёртвой петли" равна нулю. Помимо этого, мы знаем, что в такой точке перемещение тела в горизонтальном направлении должно быть невозможным.

Таким образом, в "мёртвой петле" кинетическая энергия тела равна нулю.

Если предположить, что высота начала движения равна \( h \), то потенциальная энергия тела в этой точке будет равна его начальной потенциальной энергии.

Используем закон сохранения механической энергии:
\[E_{\text{нач}} = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}\]

Где:
\(E_{\text{нач}}\) - начальная механическая энергия тела,
\(E_{\text{к}}\) - кинетическая энергия тела,
\(E_{\text{п}}\) - потенциальная энергия тела.

Обозначим начальную скорость тела как \(v_0\), массу тела как \(m\), ускорение свободного падения как \(g\), а высоту начала движения как \(h\).

Тогда начальная механическая энергия тела:
\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m {v_0}^2 + mgh\]

Кинетическая энергия в "мёртвой петле" равна нулю, поэтому
\[E_{\text{к}} = 0\]

Далее, потенциальная энергия тела в мёртвой петле равна его начальной потенциальной энергии:
\[E_{\text{п}} = mgh\]

Подставим значения в закон сохранения механической энергии:
\[\frac{1}{2} m {v_0}^2 + mgh = mgh\]

Сократим массу \(m\) со всех частей уравнения:
\[\frac{1}{2} {v_0}^2 + gh = gh\]

Избавимся от \(gh\) на обеих сторонах уравнения:
\[\frac{1}{2} {v_0}^2 = 0\]

Перенесем \(\frac{1}{2} {v_0}^2\) влево:
\[\frac{1}{2} {v_0}^2 - 0 = 0\]

Упрощаем:
\[\frac{1}{2} {v_0}^2 = 0\]

Умножим уравнение на 2:
\[{v_0}^2 = 0\]

Извлечем квадратный корень:
\(v_0 = 0\)

Таким образом, начальная скорость тела должна быть равна нулю, чтобы оно могло плавно перейти в "мёртвую петлю" радиусом \( r \).

Теперь рассмотрим высоту начала движения \( h \). Мы должны учитывать, что в "мёртвой петле" потенциальная энергия тела также равна нулю.

Потенциальная энергия тела в высоте \( h \) равна \( mgh \). Поскольку в "мёртвой петле" потенциальная энергия равна нулю, получаем:
\[mgh = 0\]

Сократим массу \( m \) со всех частей уравнения:
\[gh = 0\]

Избавимся от \( g \) на обеих сторонах уравнения:
\[h = 0\]

Таким образом, минимальная высота, с которой должно начинаться движение тела, чтобы оно могло плавно перейти в "мёртвую петлю" радиусом \( r \), равна нулю. Тело должно начинать движение с самого низкого положения, чтобы не иметь начальной потенциальной энергии в "мёртвой петле".