Розв яжіть дані рівняння: а) Знайдіть розв язок рівняння: 4x2 + lyl = x2. б) Реалізуйте розв язання рівняння: |х-2|

а) Розв"яжемо дане рівняння:

\[4x^2 + |y| = x^2.\]

Спочатку зведемо подібні терміни:

\[3x^2 + |y| = 0.\]

Тепер розділимо рівняння на 3:

\[x^2 + \frac{|y|}{3} = 0.\]

Зважаючи на те, що квадрат ніколи не може бути від"ємним, отримуємо такі розв"язки:

\[x = 0, \quad |y| = 0.\]

б) Розглянемо наступне рівняння:

\[|x-2| - y^4 = |3x-6|.\]

Розіб"ємо його на дві окремі умови, коли вирази в модулях мають різні знаки:

1) \[x-2 - y^4 = 3x-6.\]

Спростимо:

\[2x + y^4 = 4.\]

2) \[-(x-2) - y^4 = 3x-6.\]

Спростимо:

\[4x + y^4 = -2.\]

Розв"яжемо ці рівняння окремо, отримаємо:
1) \[x = \frac{4-y^4}{2}.\]
2) \[x = \frac{-2-y^4}{4}.\]

Отже, виразити значення x через y не можна, оскільки результати будуть залежати від значень y.

в) Обчислимо значення x для рівняння:

\[10x - |y| = x^2 + 25.\]

Зведемо подібні терміни:

\[9x - |y| = x^2 + 25.\]

Перенесемо всі члени на одну сторону:

\[x^2 - 9x + 25 - |y| = 0.\]

Замінимо |y| на вираз y і виконаємо квадратне рівняння:

\[x^2 - 9x + 25 - y = 0.\]

Тепер ми можемо використати квадратну формулу для знаходження значень x:

\[x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (25 - y)}}{2 \cdot 1}.\]

Спростимо це вираз:

\[x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - (100 - 4y)}}{2}.\]

\[x = \frac{9 \pm \sqrt{4y - 19}}{2}.\]

Таким чином, ми отримали два розв"язки для x в залежності від значення y.

г) Щоб знайти вираз для рівняння \(|y + 4| + |3x|\), ми можемо використовувати властивості модуля:

\[|a| + |b| = \begin{cases} a + b, & \text{якщо } a, b \geq 0 \\ a - b, & \text{якщо } a \geq 0, b < 0 \\ -a + b, & \text{якщо } a < 0, b \geq 0 \\ -a - b, & \text{якщо } a, b < 0 \end{cases}.\]

Підставляючи \(a = y + 4\) і \(b = 3x\), отримуємо:

\[|y + 4| + |3x| = \begin{cases} (y + 4) + (3x), & \text{якщо } y + 4 \geq 0, 3x \geq 0 \\ (y + 4) - (3x), & \text{якщо } y + 4 \geq 0, 3x < 0 \\ -(y + 4) + (3x), & \text{якщо } y + 4 < 0, 3x \geq 0 \\ -(y + 4) - (3x), & \text{якщо } y + 4 < 0, 3x < 0 \end{cases}.\]

Таким чином, вираз для \(|y + 4| + |3x|\) містить чотири різних випадки залежно від знаків y + 4 і 3x. Якщо відомі значення y і x, можна обчислити вираз для кожного з цих чотирьох випадків.