Question 13: The pipeline with a diameter of d = 300mm and a length of 1 = 50m is prepared for hydraulic testing

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Паскаля о равномерном распределении давления. Согласно этому закону, давление, создаваемое на одном конце жидкости, передается все точкам жидкости.

Первым шагом решения задачи будет определение изменения давления, необходимого для достижения желаемого значения. Мы можем использовать формулу:
$$\mathrm{\Delta }P=P_1-P_0$$
где $\mathrm{\Delta }P$ - изменение давления, $P_1$ - желаемое давление, $P_0$ - начальное давление.

В данной задаче, начальное давление равно атмосферному давлению, которое примерно равно $1,013\times {10}^5$ Па. Желаемое давление равно $50\times {10}^5$ Па.

Подставляя значения в формулу, получим:
$$\mathrm{\Delta }P=50\times {10}^5-1,013\times {10}^5=48,987\times {10}^5$$ Па.

Теперь нам нужно определить объем дополнительной воды, необходимой для изменения давления. Для этого мы можем использовать уравнение объемного деформирования предельного состояния для жидкости:
$$\mathrm{\Delta }V=V_0\times \beta \times \mathrm{\Delta }P$$
где $\mathrm{\Delta }V$ - изменение объема, $V_0$ - начальный объем, $\beta$ - объемное упругое сжатие, $\mathrm{\Delta }P$ - изменение давления.

Данные задачи не предоставляют точных значений для объемного упругого сжатия $\beta$, поэтому мы использовали предоставленное приближенное значение $\beta =-2\times {10}^{-9}$ 1/Па.

Сейчас нам нужно определить начальный объем $V_0$ трубопровода. Мы можем использовать формулу объема для цилиндра:
$$V_0=S\times l$$
где $S$ - площадь поперечного сечения трубы, $l$ - длина трубы.

Для определения площади поперечного сечения трубы используем формулу:
$$S=\pi \times {\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$
где $d$ - диаметр трубы.

Подставляя значения, получаем:
$$d=300\times {10}^{-3}\text{м}$$
$$l=50\text{м}$$
$$S=\pi \times {\left(\frac{300\times {10}^{-3}}{2}\right)}^2=0,07069{\text{м}}^2$$
$$V_0=S\times l=0,07069{\text{м}}^2\times 50\text{м}=3,5345{\text{м}}^3$$

Теперь мы можем подставить значения в уравнение объемного деформирования:
$$\mathrm{\Delta }V=3,5345{\text{м}}^3\times (-2\times {10}^{-9}\text{1/Па})\times 48,987\times {10}^5\text{Па}=-0,345{\text{м}}^3$$

Отрицательный результат говорит о том, что нам нужно удалить воду из трубы, чтобы достичь желаемого давления. Модуль результата равен $0,345{\text{м}}^3$, что является абсолютной величиной дополнительного объема воды, которую необходимо добавить в трубу.

Таким образом, для того чтобы увеличить давление внутри трубы до $50\times {10}^5\text{Па}$ согласно давлению на манометре, необходимо добавить $0,345{\text{м}}^3$ дополнительной воды.