Проведите графический набросок и определите площадь области, ограниченной кривыми: y=0,5x^2, y=0

Конечно, я могу помочь с этой задачей! Для начала давайте попытаемся визуализировать кривые, которые описаны в условии.

Кривая \(y = 0.5x^2\) - это парабола с вершиной в точке (0, 0) и направленной вверх. Она будет выглядеть примерно так:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 2 \\
-1 & 0.5 \\
0 & 0 \\
1 & 0.5 \\
2 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Кривая \(y = 0\) - это прямая горизонтальная линия, которая проходит через ось X. Она будет выглядеть примерно так:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 0 \\
-1 & 0 \\
0 & 0 \\
1 & 0 \\
2 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь нам нужно определить площадь области, ограниченной этими кривыми. В данном случае, площадь области будет заключена между \(x\) координатами точек пересечения параболы и оси \(x\).

Для этого найдем точки пересечения параболы \(y = 0.5x^2\) и прямой \(y = 0\). Подставим \(y = 0\) в уравнение параболы:

\[
0 = 0.5x^2 \implies x = 0
\]

Таким образом, парабола и прямая пересекаются только в точке (0, 0).

Теперь, чтобы найти площадь области, нам нужно найти интеграл от \(y = 0.5x^2\) по оси \(x\) от точки пересечения до другой \(x\) координаты, где парабола пересекает ось \(x\) снова.

Поскольку парабола симметрична относительно оси \(y\), то она будет пересекать ось \(x\) в точках, симметричных относительно вершины. То есть, если парабола пересекает ось \(x\) в \(x = a\), то она также пересекает ось \(x\) в \(x = -a\).

Так как парабола имеет вершину в (0, 0), она пересекает ось \(x\) в точках \(x = 0\) и \(x = 0\) (симметричные относительно вершины).

Теперь мы можем найти площадь области. Интеграл площади обозначается как:

\[
S = \int_{-a}^a f(x) \, dx
\]

В данном случае, функция \(f(x)\) - это \(0.5x^2\), а точки пересечения параболы с осью \(x\) - это \(-a\) и \(a\). Они оба равны 0, значит интеграл будет иметь следующий вид:

\[
S = \int_{-a}^a 0.5x^2 \, dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
S = \left[\frac{0.5}{3}x^3\right]_{-a}^a = \frac{0.5}{3}a^3 - \frac{0.5}{3}(-a)^3
\]

Упростим это выражение:

\[
S = \frac{0.5}{3}a^3 - \frac{0.5}{3}(-a)^3 = \frac{0.5}{3}a^3 - \frac{0.5}{3}a^3 = 0
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми \(y = 0.5x^2\) и \(y = 0\), равна 0.

Площадь области под графиком \(y = 0.5x^2\) и выше оси \(x\) равна 0.