Привет. Тебе необходимо определить точки пересечения окружности и прямой, а затем найти расстояние от этих точек

Привет! Давай решим эту задачу поэтапно.

Шаг 1: Определение уравнений окружности и прямой.
Для начала, нам нужно знать уравнения окружности и прямой. Пусть уравнение окружности имеет вид \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Также, пусть уравнение прямой имеет вид \(y = cx + d\), где \(c\) и \(d\) - коэффициенты, которые нам нужно найти.

Шаг 2: Определение точек пересечения окружности и прямой.
Чтобы найти точки пересечения, подставим уравнение прямой в уравнение окружности и решим полученное уравнение относительно \(x\). Это даст нам координаты \(x\) для каждой из точек пересечения. Затем подставим найденные значения \(x\) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\).

Шаг 3: Расчет расстояния от точек до прямой.
Для определения расстояния от точки до прямой, воспользуемся следующей формулой: \(\text{расстояние} = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\), где \(A, B\) и \(C\) задают уравнение прямой, а \(x\) и \(y\) - координаты точки.

Теперь, приступим к решению задачи.

Пусть дано уравнение окружности \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2\), а уравнение прямой \(y = 2x + 1\).

Шаг 1: Определение уравнений окружности и прямой.
В данной задаче мы уже имеем уравнения окружности и прямой, поэтому переходим к следующему шагу.

Шаг 2: Определение точек пересечения окружности и прямой.
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности и решим полученное уравнение относительно \(x\):

\((x-2)^2 + (2x+1-3)^2 = 5^2\).

После раскрытия скобок, получим:

\(x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x - 1 - 6x - 3 + 2 = 25\).

Сократим подобные члены:

\(5x^2 - 6x + 2 = 25\).

Перенесем все члены влево:

\(5x^2 - 6x - 23 = 0\).

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a, b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, \(a = 5\), \(b = -6\) и \(c = -23\). Подставим эти значения в формулу:

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-23) = 36 + 460 = 496\).

Так как дискриминант \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два корня. Решим его:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Подставим значения в эту формулу:

\(x_1 = \frac{{-(-6) + \sqrt{496}}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{6 + 4\sqrt{31}}}{{10}} = \frac{{3 + 2\sqrt{31}}}{{5}}\).

\(x_2 = \frac{{-(-6) - \sqrt{496}}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{6 - 4\sqrt{31}}}{{10}} = \frac{{3 - 2\sqrt{31}}}{{5}}\).

Теперь, подставим значения \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение прямой \(y = 2x + 1\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

\(y_1 = 2 \cdot \frac{{3 + 2\sqrt{31}}}{{5}} + 1 = \frac{{6 + 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1 = \frac{{6 + 4\sqrt{31} + 5}}{{5}} = \frac{{11 + 4\sqrt{31}}}{{5}}\).

\(y_2 = 2 \cdot \frac{{3 - 2\sqrt{31}}}{{5}} + 1 = \frac{{6 - 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1 = \frac{{6 - 4\sqrt{31} + 5}}{{5}} = \frac{{11 - 4\sqrt{31}}}{{5}}\).

Теперь мы знаем координаты точек пересечения окружности и прямой: \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Перейдем к последнему шагу.

Шаг 3: Расчет расстояния от точек до прямой.
Чтобы найти расстояние от точек до прямой, воспользуемся формулой расстояния:

\(\text{расстояние} = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\),

где \(A, B\) и \(C\) задают уравнение прямой (уравнение прямой \(y = 2x + 1\) можно представить в виде \(2x - y + 1 = 0\)).

Теперь вычислим расстояние от первой точки \((x_1, y_1)\) до прямой:

\(\text{расстояние}_1 = \frac{{2 \cdot \frac{{3 + 2\sqrt{31}}}{{5}} - \frac{{11 + 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1}}{{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}} = \frac{{\frac{{6 + 4\sqrt{31} - 11 - 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1}}{{\sqrt{4 + 1}}} = \frac{{-4}}{{5\sqrt{5}}} = -\frac{{4}}{{5\sqrt{5}}}\).

Аналогично, рассчитаем расстояние от второй точки \((x_2, y_2)\) до прямой:

\(\text{расстояние}_2 = \frac{{2 \cdot \frac{{3 - 2\sqrt{31}}}{{5}} - \frac{{11 - 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1}}{{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}} = \frac{{\frac{{6 - 4\sqrt{31} - 11 + 4\sqrt{31}}}{{5}} + 1}}{{\sqrt{4 + 1}}} = \frac{{-4}}{{5\sqrt{5}}} = -\frac{{4}}{{5\sqrt{5}}}\).

Таким образом, расстояние от каждой из точек до прямой равно \(-\frac{{4}}{{5\sqrt{5}}}\).

Надеюсь, полученный ответ понятен. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся задавать!