При каком значении переменной d будет угол между векторами m и n равен 45 градусов, если m = {1;4} и n = {d;3}?

Для того чтобы найти угол между векторами m и n, мы можем использовать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:

\[
\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) - векторы, \(\theta\) - угол между ними, и \(|\vec{m}|\) и \(|\vec{n}|\) - длины векторов m и n соответственно.

В нашем случае, длины векторов m и n равны:

\(|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)

\(|\vec{n}| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9}\)

Заметим, что косинус 45 градусов равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим все полученные значения в формулу скалярного произведения:

\(\vec{m} \cdot \vec{n} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Теперь найдем значение переменной \(d\), при котором угол между векторами m и n равен 45 градусов. Нам нужно решить следующее уравнение:

\(\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{25}\)

Упростим его:

\(\sqrt{d^2 + 9} = \sqrt{25}\)

Теперь избавимся от квадратного корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

\(d^2 + 9 = 25\)

Вычтем 9 из обеих частей уравнения:

\(d^2 = 16\)

Извлечем квадратный корень:

\(d = \pm 4\)

Таким образом, значения переменной \(d\), при которых угол между векторами m и n равен 45 градусам, равны \(d = 4\) и \(d = -4\).