При каких значениях угла между векторами а(4; -7) и b(3; у) угол будет: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой?

Чтобы определить, при каких значениях угол между векторами будет острым, прямым или тупым, нам понадобится знание о свойствах скалярного произведения векторов.

Для начала, найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\)

где \(a_x\) и \(a_y\) - компоненты вектора \(\mathbf{a}\), а \(b_x\) и \(b_y\) - компоненты вектора \(\mathbf{b}\).

Вычислим скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 - 7y\)

Теперь, для того чтобы определить тип угла между векторами, мы можем использовать следующие правила:

1) Если \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0\), то угол между векторами будет острым.
2) Если \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\), то угол между векторами будет прямым.
3) Если \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0\), то угол между векторами будет тупым.

Теперь, в зависимости от значения \(y\), мы можем определить тип угла:

1) Острый угол:
Для того чтобы угол был острым, значение скалярного произведения \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) должно быть больше нуля.
\(12 - 7y > 0\)
Решим это неравенство:
\(-7y > -12\)
\(y < \frac{12}{7}\)
Таким образом, угол будет острым при значениях \(y < \frac{12}{7}\).

2) Прямой угол:
Для того чтобы угол был прямым, значение скалярного произведения \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) должно быть равно нулю.
\(12 - 7y = 0\)
Решим это уравнение:
\(7y = 12\)
\(y = \frac{12}{7}\)
Таким образом, угол будет прямым при \(y = \frac{12}{7}\).

3) Тупой угол:
Для того чтобы угол был тупым, значение скалярного произведения \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) должно быть меньше нуля.
\(12 - 7y < 0\)
Решим это неравенство:
\(-7y < -12\)
\(y > \frac{12}{7}\)
Таким образом, угол будет тупым при значениях \(y > \frac{12}{7}\).

Итак, у нас есть следующие результаты:

1) Угол между векторами будет острым при значениях \(y < \frac{12}{7}\).
2) Угол между векторами будет прямым при \(y = \frac{12}{7}\).
3) Угол между векторами будет тупым при значениях \(y > \frac{12}{7}\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас.