При каких значениях m и n прямые mx+8y+n=0 и 2x+my-1=0 будут: а) параллельными б) совпадающими в) перпендикулярными

Для решения этой задачи нам нужно установить условия, при которых прямые будут параллельными, совпадающими или перпендикулярными.

а) Параллельные прямые имеют одинаковые наклоны. Наклон прямой можно найти, приведя уравнение этой прямой к нормальному виду \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, а \(c\) - значение, которое он пересекает на оси ординат. Сравнивая коэффициенты при \(x\) в уравнениях прямых, мы можем записать систему уравнений:

\[
\begin{align*}
mx + 8y + n &= 0 \\
2x + my - 1 &= 0
\end{align*}
\]

Приведем первое уравнение к нормальному виду:
\[
8y = -mx - n \Rightarrow y = -\frac{m}{8} x - \frac{n}{8}
\]

Таким образом, наклон первой прямой равен \(-\frac{m}{8}\).

Теперь уравнение второй прямой:
\[
my = -2x + 1 \Rightarrow y = -\frac{2}{m} x + \frac{1}{m}
\]

Наклон второй прямой равен \(-\frac{2}{m}\).

Теперь мы можем избавиться от переменных и сравнить наклоны прямых:
\[
-\frac{m}{8} = -\frac{2}{m}
\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\frac{8}{m}\) чтобы избавиться от дробей:
\[
-\frac{m^2}{8} = -\frac{16}{m}
\]

Теперь умножим обе стороны на 8 чтобы избавиться от дробей:
\[
-m^2 = -\frac{128}{m}
\]

Осталось учесть два случая:
1. Если \(m = 0\), то у нас есть горизонтальная прямая. В этом случае первое уравнение примет вид \(8y + n = 0\) и второе уравнение примет вид \(2x - 1 = 0\).
2. Если \(m \neq 0\), мы можем сократить на \(-m\) и получим квадратное уравнение:
\[
m^2 = \frac{128}{m}
\]

Умножим обе стороны на \(m\) и получим:
\[
m^3 = 128
\]

Или:
\[
m = \sqrt[3]{128}
\]

Таким образом:
- Если \(m = 0\), то прямые будут параллельными.
- Если \(m \neq 0\) и \(m \neq \sqrt[3]{128}\), то прямые будут перпендикулярными.
- Если \(m = \sqrt[3]{128}\), то прямые будут совпадающими.