При каких значениях числа N наступает случайное событие «в школе есть ученики, у которых совпадают дни рождения»? Когда

Чтобы ответить на ваш вопрос, нам нужно использовать вероятностное мышление и определить, какие значения числа N приводят к наступлению случайного события «в школе есть ученики, у которых совпадают дни рождения».

Вероятность совпадения дней рождения зависит от количества учеников в школе и от количества дней в году. Для простоты мы предположим, что каждый день года имеет одинаковую вероятность быть днем рождения для любого ученика, и что год состоит из 365 дней (не считая 29 февраля).

Пусть N обозначает количество учеников в школе. Первый ученик может иметь свой день рождения в любой из 365 дней в году. Вероятность того, что второй ученик будет иметь тот же день рождения, составляет 1/365, так как у него есть только один день в году, который совпадает с днем рождения первого ученика.

Теперь, вероятность того, что третий ученик будет иметь день рождения, совпадающий с днем рождения первого или второго ученика, равна 2/365, так как у него есть два дня в году для выбора. Аналогично, вероятность совпадения дня рождения для очередного ученика будет увеличиваться.

Мы можем формализовать этот подход, используя принцип дополнения. Вероятность того, что ни один из N учеников не будет иметь совпадающих дней рождения, равна произведению вероятностей того, что каждый следующий ученик не будет иметь совпадения с предыдущими. Таким образом, вероятность отсутствия совпадения дней рождения для N учеников может быть записана следующим образом:

\[\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \ldots \times \frac{365 - N + 1}{365}\]

Теперь, чтобы определить, при каких значениях N наступает случайное событие «в школе есть ученики, у которых совпадают дни рождения», мы должны учесть противоположное событие - когда ни один из N учеников не имеет совпадающих дней рождения. Это означает, что мы должны вычислить вероятность P(N), что N учеников не имеют совпадающих дней рождения, и найти первое значение N, для которого P(N) становится меньше 1 (или достаточно мало).

Мы можем посчитать вероятность P(N) последовательно для разных значений N и остановиться, когда она станет меньше 1. Так как мы умножаем разные вероятности, вычисления могут быть сложными для больших значений N, поэтому мы можем использовать программу или компьютер, чтобы выполнить эти расчеты автоматически.

Вот некоторые значения N и соответствующие вероятности P(N):

N = 1, P(1) = \(\frac{365}{365} = 1\)
N = 2, P(2) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \approx 0.997\) (округлено до трех десятичных знаков)
N = 3, P(3) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.991\)
N = 4, P(4) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \approx 0.983\)
...
N = 23, P(23) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{343}{365} \approx 0.490\)
...
N = 50, P(50) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{316}{365} \approx 0.029\)
...
N = 57, P(57) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{309}{365} \approx 0.018\)
...
N = 60, P(60) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{306}{365} \approx 0.014\)
...
N = 70, P(70) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{296}{365} \approx 0.002\)
...
N = 100, P(100) = \(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \ldots \times \frac{266}{365} \approx 0.000033\)

Мы видим, что первое значение N, при котором вероятность P(N) становится меньше 1 (или достаточно мало), равно 70. То есть, когда в школе есть 70 учеников, вероятность того, что у каких-то двух из них будет совпадающий день рождения, становится больше 0.5.

Таким образом, при N ≥ 70 случайное событие «в школе есть ученики, у которых совпадают дни рождения» становится достаточно вероятным, и шанс совпадения дней рождения между учениками становится больше 50%.