Предложите формулу для общего члена последовательности, заданной несколькими первыми членами, и рассмотрите следующие

Для решения данной задачи, давайте начнем с рассмотрения первой последовательности:

1) Даны первые члены последовательности: \(\cos 1, \frac{\cos 2}{2}, \frac{\cos 3}{3}, \frac{\cos 4}{4}, \ldots\)

Давайте попытаемся вывести формулу для общего члена данной последовательности. Заметим, что каждый член последовательности состоит из косинуса некоторого значения, деленного на соответствующее число. Также заметим, что значение внутри косинуса увеличивается с каждым новым членом последовательности (значение в скобках у которого увеличивается на единицу).

Таким образом, общий член последовательности может быть выражен следующей формулой:

\[a_n = \frac{\cos(n)}{n}\]

Рассмотрим следующие свойства данной последовательности:

- Монотонность: Данная последовательность не является монотонной, так как изменение характера функции косинуса и деление на увеличивающееся число \((n)\) приводит к периодическому изменению знака и значений последовательности.

- Ограниченность: Для доказательства ограниченности данной последовательности, необходимо рассмотреть значения каждого члена последовательности. Заметим, что модуль значения косинуса находится в пределах от 0 до 1. Следовательно, каждый член последовательности можно ограничить по модулю числом \(\frac{1}{n}\). Данная последовательность сходится, поэтому она ограничена.

- Сходимость и значение предела: Для определения сходимости данной последовательности, рассмотрим предел последовательности при \(n \to \infty\). Применим теорему о пределе композиции функций, согласно которой предел произведения равен произведению пределов, если оба предела существуют. В данном случае, предельные значения функций \(\cos(n)\) и \(\frac{1}{n}\) не существуют при \(n \to \infty\), поэтому предел последовательности также не существует.

Таким образом, формула для общего члена последовательности \(\cos 1, \frac{\cos2}{2}, \frac{\cos3}{3}, \frac{\cos4}{4}, \ldots\) будет \(a_n = \frac{\cos(n)}{n}\). Последовательность не является монотонной, ограничена и не сходится к определенному пределу.

Теперь, перейдем к рассмотрению второй последовательности:

2) Даны первые члены последовательности: \(\frac{1}{2}, -\frac{2}{2^2}, \frac{3}{2^3}, -\frac{4}{2^4}, \ldots\)

Для нахождения общего члена данной последовательности, давайте проанализируем изменение числителя и знаменателя в каждом члене последовательности. Заметим, что числитель увеличивается на единицу, а знаменатель представляет собой степень числа 2, увеличивающуюся с каждым новым членом. Таким образом, общий член последовательности может быть выражен следующей формулой:

\[a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n}{2^n}\]

Рассмотрим следующие свойства данной последовательности:

- Монотонность: Данная последовательность не является монотонной, так как каждый новый член последовательности меняет свой знак, а значит происходит чередование положительных и отрицательных членов.

- Ограниченность: Для доказательства ограниченности данной последовательности, рассмотрим значения каждого члена последовательности. Заметим, что числитель каждого члена ограничен по модулю числом \(n\), а знаменатель представляет собой степень числа 2, увеличивающуюся с каждым новым членом. Данная последовательность ограничена.

- Сходимость и значение предела: Для определения сходимости данной последовательности, рассмотрим предел последовательности при \(n \to \infty\). Применим теорему о пределе суммы и разности пределов, согласно которой предел разности равен разности пределов, если оба предела существуют. В данном случае, предельные значения функций \((-1)^{n+1} \cdot n\) и \(2^n\) не существуют при \(n \to \infty\), поэтому предел последовательности также не существует.

Таким образом, формула для общего члена последовательности \(\frac{1}{2}, -\frac{2}{2^2}, \frac{3}{2^3}, -\frac{4}{2^4}, \ldots\) будет \(a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n}{2^n}\). Последовательность не является монотонной, ограничена и не сходится к определенному пределу.

Я надеюсь, что данное объяснение и пошаговое решение помогли вам лучше понять и решить задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.