Постройте график функции h=2t²+t-3, представляющей уменьшение высоты столба воды в цистерне в зависимости от времени

Хорошо, давайте решим задачу построения графика функции \(h = 2t^2 + t - 3\) шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем вершины параболы
Вершина параболы имеет координаты \((t_0, h_0)\), где значение функции достигает максимума или минимума. Чтобы найти координаты вершины, воспользуемся формулами:
\(t_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(h_0 = f(t_0)\).

Для данной функции, \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -3\). Подставим значения в формулы и рассчитаем:

\[t_0 = -\frac{1}{2\cdot2} = -\frac{1}{4}\]

\[h_0 = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 3 = -\frac{29}{8}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{29}{8}\right)\).

Шаг 2: Найдем пересечения с осями координат
Чтобы найти пересечения параболы с осью \(t\) (горизонтальной осью), решим уравнение \(h = 0\). Подставим \(h = 0\) в исходное уравнение и решим его:

\[2t^2 + t - 3 = 0\]

Уравнение не легко решить вручную, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac\). Если \(\Delta > 0\), то уравнение имеет два корня, если \(\Delta = 0\), то один корень, и если \(\Delta < 0\), то корней нет.

Для данного уравнения,

\[\Delta = (1)^2 - 4(2)(-3) = 25\]

Так как \(\Delta > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем их, применяя квадратное уравнение:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\]

Таким образом, парабола пересекает ось \(t\) в точках \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) и \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\).

Шаг 3: Построим график функции

Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика функции \(h = 2t^2 + t - 3\). Построим систему координат, где горизонтальная ось будет представлять время (\(t\)), а вертикальная ось - высоту (\(h\)).

На графике отметим точку вершины \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{29}{8}\right)\) и точки пересечения с осью \(t\) \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) и \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\). Затем нарисуем параболу, проходящую через эти точки.

Итак, график функции \(h = 2t^2 + t - 3\) будет выглядеть примерно так:

\[ \begin{array}{cccc}
t & h \\
\hline
-2 & 5 \\
-1 & -1 \\
0 & -3 \\
1 & 0 \\
2 & 7 \\
\end{array} \]

[Вставьте здесь картинку графика функции h = 2t^2 + t - 3]

Надеюсь, что эта информация поможет вам лучше понять, как построить график функции \(h = 2t^2 + t - 3\) и представлять уменьшение высоты столба воды в цистерне в зависимости от времени. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!