Получение формулы для нормированного ускорения кубика и ускорения свободного падения на большой высоте

Для решения данной задачи, давайте начнем с применения второго закона Ньютона к кубику.

Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Теперь мы можем записать это уравнение для кубика, находящегося на высоте h над поверхностью Земли:

\( \sum F = m \cdot a \)

Сумма всех сил, действующих на кубик, включает гравитационную силу и силу сопротивления воздуха. Гравитационная сила направлена вниз и равна произведению массы кубика (m) на ускорение свободного падения (g). Сила сопротивления воздуха направлена вверх и зависит от скорости движения кубика. Обозначим эту силу как \( F_{\text{сопрот}} \).

Теперь уравнение второго закона Ньютона для кубика на высоте h может быть записано следующим образом:

\( F_{\text{гр}} - F_{\text{сопрот}} = m \cdot a \) (1)

Давайте теперь разделим это векторное уравнение на mg, чтобы получить нормированное ускорение.

Поделим обе части уравнения (1) на mg:

\( \frac{{F_{\text{гр}}}}{{mg}} - \frac{{F_{\text{сопрот}}}}{{mg}} = \frac{{m \cdot a}}{{mg}} \)

Заметим, что \( g \) и \( mg \) в числителе и знаменателе сократятся, получим:

\( \frac{{F_{\text{гр}}}}{{mg}} - \frac{{F_{\text{сопрот}}}}{{mg}} = \frac{{a}}{{g}} \)

Теперь у нас есть нормированное ускорение (a/g) в левой части уравнения. Правая часть уравнения остается (Fгр - Fсопрот)/mg.

Проектируем уравнение на вертикальную и горизонтальную оси:

Вертикальная ось:
Для проектирования уравнения на вертикальную ось, учтем, что на вертикальную проекцию силы сопротивления воздуха влияет только вертикальная компонента скорости движения кубика. Предположим, что вертикальная компонента скорости обозначается как \( v_y \). Тогда \( F_{\text{сопрот}} \) может быть записано следующим образом:

\( F_{\text{сопрот}} = -k \cdot v_y \), где k - коэффициент сопротивления воздуха.

Теперь подставим это значение силы сопротивления в уравнение (1):

\( F_{\text{гр}} - (-k \cdot v_y) = m \cdot a \)

Горизонтальная ось:
Для проектирования уравнения на горизонтальную ось, учтем, что гравитационная сила не имеет горизонтальной составляющей. Сила сопротивления воздуха в горизонтальной плоскости также не оказывает влияния. Следовательно, можно сказать, что \( F_{\text{гр}} = 0 \) и \( F_{\text{сопрот}} = 0 \).

Теперь мы получили систему уравнений, проекции на вертикальную и горизонтальную оси:

\( 0 - (-k \cdot v_y) = m \cdot a \) - вертикальная ось (2)

\( F_{\text{гр}} = 0 \) - горизонтальная ось (3)

Для решения системы уравнений (2) и (3) необходимо знать значения коэффициента сопротивления воздуха (k) и вертикальной компоненты скорости (v_y), чтобы найти ускорение (a).