Подъём на воздушном шаре был использован для сбора данных о температуре на разных высотах над уровнем моря

Для определения коэффициентов а и b методом наименьших квадратов, мы будем использовать формулы для линейной регрессии. Школьникам полезно будет узнать, что метод наименьших квадратов позволяет найти наилучшую прямую, которая аппроксимирует исходные данные.

Давайте начнем с подсчета сумм высоты и температуры, а также их произведений для наших измерений:

\[
\begin{align*}
\sum x &= 1.2 + 1.8 + 2.2 + 2.5 + 3.0 + 3.3 + 3.8 \\
\sum y &= 15 + 11 + 8 + 6 + 3 + 1 + (-2) \\
\sum xy &= (1.2 \cdot 15) + (1.8 \cdot 11) + (2.2 \cdot 8) + (2.5 \cdot 6) + (3.0 \cdot 3) + (3.3 \cdot 1) + (3.8 \cdot -2)
\end{align*}
\]

Находим среднее значение высоты (x̄) и температуры (ȳ):

\[
\begin{align*}
x̄ &= \frac{\sum x}{n} \\
ȳ &= \frac{\sum y}{n}
\end{align*}
\]

где n - количество измерений.

Теперь мы можем рассчитать коэффициент а:

\[
a = \frac{\sum xy - n \cdot x̄ \cdot ȳ}{\sum x^2 - n \cdot (x̄)^2}
\]

а также коэффициент b:

\[
b = ȳ - a \cdot x̄
\]

Подставляя наши значения в формулы, получаем:

\[
\begin{align*}
a &= \frac{\sum xy - n \cdot x̄ \cdot ȳ}{\sum x^2 - n \cdot (x̄)^2} \\
b &= ȳ - a \cdot x̄
\end{align*}
\]

Теперь давайте вычислим все необходимые значения:

\[
\begin{align*}
\sum x &= 1.2 + 1.8 + 2.2 + 2.5 + 3.0 + 3.3 + 3.8 = 17.8 \\
\sum y &= 15 + 11 + 8 + 6 + 3 + 1 + (-2) = 42 \\
\sum xy &= (1.2 \cdot 15) + (1.8 \cdot 11) + (2.2 \cdot 8) + (2.5 \cdot 6) + (3.0 \cdot 3) + (3.3 \cdot 1) + (3.8 \cdot -2) = 86.7 \\
n &= 7 \\
x̄ &= \frac{\sum x}{n} = \frac{17.8}{7} = 2.54 \\
ȳ &= \frac{\sum y}{n} = \frac{42}{7} = 6 \\
\sum x^2 &= (1.2)^2 + (1.8)^2 + (2.2)^2 + (2.5)^2 + (3.0)^2 + (3.3)^2 + (3.8)^2 = 37.48
\end{align*}
\]

Теперь мы можем вычислить коэффициенты:

\[
\begin{align*}
a &= \frac{\sum xy - n \cdot x̄ \cdot ȳ}{\sum x^2 - n \cdot (x̄)^2} \\
b &= ȳ - a \cdot x̄
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
a &= \frac{86.7 - 7 \cdot 2.54 \cdot 6}{37.48 - 7 \cdot (2.54)^2} \approx -2.72 \\
b &= 6 - (-2.72) \cdot 2.54 \approx 12.65
\end{align*}
\]

Таким образом, наше уравнение имеет вид:

\[
y = -2.72x + 12.65
\]

Теперь мы можем заполнить электронную таблицу с вычисленными значениями коэффициентов а и b для линейной зависимости температуры от высоты.