Под каким углом α к горизонту лестница, которая прислонена к гладкой вертикальной стене и имеет коэффициент трения

Чтобы найти угол α, при котором лестница может стоять наименьшим, мы должны учесть два фактора: сила трения, действующая на лестницу, и равновесие моментов сил.

1. Сила трения:
Лестница может оставаться в покое только тогда, когда сила трения между лестницей и полом равна или превышает горизонтальную компоненту силы тяжести, действующей на лестницу.

Сила трения можно выразить следующей формулой:
\(F_{тр} = μ \cdot N\),
где μ - коэффициент трения, N - нормальная сила, действующая на лестницу.

Нормальная сила N равна вертикальной компоненте силы тяжести и может быть выражена следующим образом:
\(N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)\),
где m - масса лестницы, g - ускорение свободного падения, α - угол между лестницей и полом.

Подставим это выражение для N обратно в формулу для Fтр:
\(F_{тр} = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)\).

2. Равновесие моментов сил:
Для того чтобы лестница оставалась в равновесии, сумма моментов сил должна быть равна нулю. В данном случае, рассматривая центр тяжести лестницы, моменты сил равны нулю.

Момент силы трения можно выразить следующим образом:
\(M_{тр} = F_{тр} \cdot l\),
где l - расстояние от центра тяжести лестницы до пола.

Момент силы тяжести можно выразить следующим образом:
\(M_{тяж} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{l}{2}\).

Равновесие моментов сил означает, что
\(M_{тр} = M_{тяж}\),
или
\(F_{тр} \cdot l = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{l}{2}\).

Теперь, когда мы учли оба фактора, мы можем найти угол α, при котором лестница может стоять наименьшим.

Выразим α из последнего равенства:
\(μ \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot l = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{l}{2}\).

Упростим это уравнение:
\(2 \cdot μ \cdot \cos(\alpha) = \sin(\alpha)\).

Затем выразим α:
\(\alpha = \arctan(2 \cdot μ)\).

Таким образом, угол α, при котором лестница может стоять наименьшим, равен \(\arctan(2 \cdot μ)\).