Поблизости от поселка находится аэропорт, где ежедневно осуществляется 10 авиарейсов. В связи с увеличением числа

расширения аэропорта для увеличения количества рейсов. Проведенные исследования показали, что среднее время между прибытием двух последовательных рейсов составляет 30 минут. Таким образом, время между прилетами самолетов можно рассматривать как случайную величину с экспоненциальным распределением с параметром \(\lambda = 1/30\) (выраженным в минутах).

Для определения вероятности того, что между двумя рейсами пройдет более 40 минут, мы можем воспользоваться функцией плотности вероятности экспоненциального распределения. Функция плотности вероятности для экспоненциального распределения задается формулой:

\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda x} \]

где \( f(x) \) - функция плотности вероятности, \( \lambda \) - параметр экспоненциального распределения, а \( x \) - время, которое прошло между двумя рейсами.

Чтобы найти вероятность того, что между двумя рейсами пройдет более 40 минут, мы можем вычислить интеграл от функции плотности вероятности на интервале от 40 до бесконечности:

\[ P(X > 40) = \int_{40}^{\infty} \lambda \cdot e^{-\lambda x} dx \]

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Применим метод интегрирования по частям к данному интегралу, где:
\( u = e^{-\lambda x} \) и \( dv = \lambda dx \)

Тогда:
\( du = -\lambda e^{-\lambda x} dx \) и \( v = x \)

Используя формулу интегрирования по частям \(\int u dv = uv - \int v du\), мы можем рассчитать данный интеграл:

\[
\begin{aligned}
\int_{40}^{\infty} \lambda \cdot e^{-\lambda x} dx &= \left. e^{-\lambda x} \cdot x \right|_{40}^{\infty} - \int_{40}^{\infty} x \cdot (-\lambda e^{-\lambda x}) dx \\
&= \left. e^{-\lambda x} \cdot x \right|_{40}^{\infty} + \lambda \int_{40}^{\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx
\end{aligned}
\]

Данный интеграл можно разделить на два отдельных интеграла, где каждый из них будет иметь вид:

\[
\begin{aligned}
\int_{40}^{\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx
\end{aligned}
\]

Для решения этого нового интеграла, мы можем снова воспользоваться методом интегрирования по частям. Проделав аналогичные вычисления, мы получим:

\[
\begin{aligned}
\int_{40}^{\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx &= \left. -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \cdot (x + \frac{1}{\lambda}) \right|_{40}^{\infty} + \frac{1}{\lambda} \int_{40}^{\infty} e^{-\lambda x} (x + \frac{1}{\lambda}) dx \\
&= \left. -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \cdot (x + \frac{1}{\lambda}) \right|_{40}^{\infty} + \frac{1}{\lambda} \int_{40}^{\infty} e^{-\lambda x} x dx + \frac{1}{\lambda^2} \int_{40}^{\infty} e^{-\lambda x} dx
\end{aligned}
\]

Решив каждый из этих интегралов по отдельности, мы получим окончательный ответ:

\[
\begin{aligned}
P(X > 40) &= \left. e^{-\lambda x} \cdot x \right|_{40}^{\infty} + \lambda \int_{40}^{\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx \\
&= \left. -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \cdot (x + \frac{1}{\lambda}) \right|_{40}^{\infty} + \frac{1}{\lambda} \int_{40}^{\infty} e^{-\lambda x} x dx + \frac{1}{\lambda^2} \int_{40}^{\infty} e^{-\lambda x} dx
\end{aligned}
\]

Данное выражение можно дополнительно упростить, подставив значения и вычислив интегралы по формулам. Окончательный ответ будет представлять собой числовое значение вероятности.