Перепишите следующие задания, сохраняя их смысл и объем: а) Найдите значение выражения

а) Найдите значение выражения: \(\frac{7}{11} \cdot \left( (10!)^2 - (9!)^2 \right) \div \left( (8!)^{-1} \cdot (7!)^2 \right)\).

Для начала, рассчитаем значения факториалов:

\(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\),

\(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\),

\(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\),

\(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).

Теперь подставим эти значения в выражение:

\(\frac{7}{11} \cdot \left( (10!)^2 - (9!)^2 \right) \div \left( (8!)^{-1} \cdot (7!)^2 \right)\).
\(\frac{7}{11} \cdot \left( (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)^2 - (9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)^2 \right) \div \left( \frac{1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot (7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)^2 \right)\).

Выполним вычисления в скобках, используя свойства арифметики:

\(\frac{7}{11} \cdot \left( (10! - 9!) \cdot (10! + 9!) \right) \div \left( \frac{1}{8!} \cdot (7!)^2 \right)\).

Теперь у нас остались только числа:

\(\frac{7}{11} \cdot \left( (3628800 - 362880) \cdot (3628800 + 362880) \right) \div \left( \frac{1}{40320} \cdot (5040)^2 \right)\).

Продолжаем вычисления:

\(\frac{7}{11} \cdot \left( 3265920 \cdot 3991680 \right) \div \left( 40320 \cdot 5040^2 \right)\).

Умножим числа и выполним деление:

\(\frac{7}{11} \cdot 1306466137600 \div 408192000\).

Теперь выполним окончательные вычисления:

\(\frac{7 \cdot 1306466137600}{11 \cdot 408192000}\).

Раскроем числитель и знаменатель:

\(\frac{9135252963200}{4490112000}\).

Упростим дробь, поделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель:

\(\frac{12702}{625}\).

Таким образом, значение выражения \(\frac{7}{11} \cdot \left( (10!)^2 - (9!)^2 \right) \div \left( (8!)^{-1} \cdot (7!)^2 \right)\) равно \(\frac{12702}{625}\).

б) Рассчитайте результат выражения \(\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}\).

Для начала, рассчитаем значения факториалов:

\(7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Теперь подставим эти значения в выражение:

\(\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}\).

\(\frac{(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}\).

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

\(\frac{30240^2 \cdot 720^2}{24 \cdot 120 \cdot 40320 \cdot 362880}\).

Раскроем степени:

\(\frac{914457600^2 \cdot 518400}{24 \cdot 120 \cdot 40320 \cdot 362880}\).

Посчитаем произведение чисел и выполним деление:

\(\frac{421782397392000000}{41472000}\).

Упростим дробь, поделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель:

\(\frac{5093067711}{500}\).

Таким образом, результат выражения \(\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}\) равен \(\frac{5093067711}{500}\).