Определите скорость движения искусственного спутника Земли в точке апогея, если его скорость в точке перигея составляет

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать законы движения тел в космическом пространстве.

По закону сохранения механической энергии, механическая энергия системы остается постоянной на всем пути движения спутника. Механическая энергия \(E\) выражается следующим образом:

\[E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}\]

где \(m\) - масса спутника, \(v\) - его скорость, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(r\) - расстояние от спутника до центра Земли.

В точке перигея (\(r_1 = 200 \, \text{км}\)) спутник имеет скорость \(v_1 = 8.25 \, \text{км/с}\), а в точке апогея (\(r_2\)) нам нужно найти скорость \(v_2\).

Так как механическая энергия остается постоянной, мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2}\]

Отметим, что масса спутника \(m\) входит в обе части уравнения и сокращается:

\[\frac{1}{2}v_1^2 - \frac{GM}{r_1} = \frac{1}{2}v_2^2 - \frac{GM}{r_2}\]

Теперь перенесем все части уравнения, кроме \(v_2^2\), на одну сторону:

\[\frac{1}{2}v_2^2 = \frac{1}{2}v_1^2 - \frac{GM}{r_1} + \frac{GM}{r_2}\]

Вспомним, что \(v_1 = 8.25 \, \text{км/с}\), \(r_1 = 200 \, \text{км}\) и выражение для \(GM\) равно приблизительно \(3.986 \times 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2\):

\[\frac{1}{2}v_2^2 = \frac{1}{2} \times 8.25^2 - \frac{3.986 \times 10^{14}}{200} + \frac{3.986 \times 10^{14}}{r_2}\]

Вычислим выражение в скобках:

\[\frac{1}{2}v_2^2 \approx 34.03125 \, \text{км}^2/\text{с}^2 - 1.993 \times 10^{12} \, \text{м}^2/\text{с}^2 + \frac{3.986 \times 10^{14}}{r_2}\]

Обратим внимание, что расстояние \(r_2\) входит в последнюю часть выражения. Заметим также, что расстояние от центра Земли до точки апогея равно расстоянию от поверхности Земли до точки апогея плюс радиус Земли (\(R = 6370 \, \text{км}\)):

\[r_2 = 200 \, \text{км} + R\]

Подставим значение \(r_2\) в уравнение:

\[\frac{1}{2}v_2^2 = 34.03125 \, \text{км}^2/\text{с}^2 - 1.993 \times 10^{12} \, \text{м}^2/\text{с}^2 + \frac{3.986 \times 10^{14}}{200 \, \text{км} + R}\]

Теперь осталось решить это уравнение относительно \(v_2\).