Определите радиус цилиндра, вписанного в конус с образующей l= 13 см, таким образом, чтобы прямая, проведенная через

Пусть радиус цилиндра, вписанного в конус, равен \( r \).
Из условия задачи мы знаем, что прямая, проведенная через центр верхнего основания цилиндра и любую точку на окружности основания конуса, образует угол 45° с основанием конуса. Таким образом, угол между образующей конуса и его высотой также равен 45°.

Для решения этой задачи, мы можем использовать следующую логику:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется сечением конуса плоскостью, проходящей через его вершину и точку на окружности основания. По условию, у нас есть два угла равные 45°, поэтому данный треугольник будет равнобедренным.

2. Высота конуса будет являться медианой равнобедренного треугольника. Так как равнобедренный треугольник имеет медиану, перпендикулярную основанию, то высота конуса будет перпендикулярна к радиусу основания конуса.

3. Из свойств треугольника мы знаем, что медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника. Поэтому высота конуса будет равна половине образующей конуса.

Дано:
Образующая конуса \( l = 13 \) см.

Решение:
Так как угол между образующей и высотой конуса равен 45°, можно составить уравнение:
\[ \tan(45^\circ) = \frac{r}{\frac{l}{2}} \]
\[ 1 = \frac{2r}{l} \]
\[ 2r = l \]
\[ r = \frac{l}{2} \]
\[ r = \frac{13}{2} \]
\[ r = 6.5 \, \text{см} \]

Итак, радиус цилиндра, вписанного в данный конус, равен 6.5 см.