Определите длину волны для линии в дифракционном спектре третьего порядка, которая соответствует линии спектра

Для решения данной задачи, нам необходимо знать формулу, связывающую длины волн для различных порядков спектра при дифракции на решетке. Эта формула выглядит следующим образом:

$$\lambda =\frac{d\cdot \sin (\theta )}{m}$$

где:
- $\lambda$ - длина волны,
- $d$ - период решетки,
- $\theta$ - угол дифракции,
- $m$ - порядок спектра.

В данной задаче у нас имеется линия спектра четвертого порядка с определенной длиной волны. И нам нужно найти длину волны для линии спектра третьего порядка, соответствующую этой линии.

Для начала, мы должны установить, каким образом связаны периоды решетки для линий третьего и четвертого порядков. Заметим, что в дифракционном спектре порядка $m$ каждая линия находится на $m$ периодов от линии порядка 0 (нулевой порядок).

Таким образом, период решетки для линии спектра четвертого порядка будет в 4 раза меньше, чем период решетки для линии спектра нулевого порядка. Получается следующая пропорция:

$\frac{d_4}{d_0}=\frac{1}{4}$

где $d_4$ - период решетки для линии спектра четвертого порядка, $d_0$ - период решетки для линии спектра нулевого порядка.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для длины волны, чтобы найти длину волны ${\lambda }_3$ для линии спектра третьего порядка:

$${\lambda }_3=\frac{d_3\cdot \sin (\theta )}{3}$$

где $d_3$ - период решетки для линии спектра третьего порядка.

Заметим, что угол дифракции $\theta$ исходной линии спектра будет таким же для линии спектра третьего порядка. Поэтому мы можем записать:

$${\lambda }_3=\frac{d_0\cdot \sin (\theta )}{3}$$

Теперь мы можем выразить $d_3$ через $d_0$ с помощью пропорции, которую получили ранее:

$$d_3=\frac{1}{4}\cdot d_0$$

Подставляя это значение в формулу для ${\lambda }_3$, получим:

$${\lambda }_3=\frac{1}{4}\cdot \frac{d_0\cdot \sin (\theta )}{3}$$

Таким образом, длина волны ${\lambda }_3$ для линии спектра третьего порядка, соответствующей линии спектра четвертого порядка с заданной длиной волны, будет равна $\frac{1}{4}$ от длины волны исходной линии спектра.