Однажды прекрасным осенним днем

Школьник встретил на своем пути интересную математическую задачу. Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы разобраться в решении.

Задача: Однажды прекрасным осенним днем школьник отправился на прогулку в парк. Там он увидел, что одна половина всех деревьев в парке - это березы, а из оставшихся половину составляют сосны, а остальные - клены. Если в парке растет 48 деревьев, сколько в парке берез, сосен и кленов?

Решение: Давайте начнем с представления информации в виде уравнения. Пусть количество берез в парке равно \(x\), количество сосен равно \(y\), а количество кленов равно \(z\). По условию задачи, мы знаем, что:
1. Половина всех деревьев в парке - березы: \(\frac{x+y+z}{2} = x\);
2. Оставшуюся половину составляют сосны и клены: \(\frac{x+y+z}{2} = y + z\);
3. В парке растет 48 деревьев: \(x + y + z = 48\).

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Давайте решим ее.

Для начала, возьмем первое уравнение и решим его относительно \(x\):
\[\frac{x+y+z}{2} = x \Rightarrow x = \frac{y+z}{2}\]

Теперь можем заменить \(x\) во втором и третьем уравнениях на \(\frac{y+z}{2}\). Подставим эту замену во второе уравнение:
\[\frac{x+y+z}{2} = y + z \Rightarrow \frac{\frac{y+z}{2}+y+z}{2} = y + z\]

Теперь у нас получилось уравнение с одной неизвестной \(y\). Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[\frac{y+z+y+z}{4} = y+z \Rightarrow \frac{2y+2z}{4}=y+z\]

Сократим дробь на 2 и упростим еще раз:
\[\frac{y+z}{2}=y+z\]

Кажется, мы наткнулись на противоречие! Полученное уравнение говорит нам, что \(y+z\) равно своему удвоенному значению, что не имеет смысла. Вероятно, мы допустили ошибку где-то раньше. Попробуем перепроверить уравнения.

На самом деле, ошибка возникла в первом уравнении. Когда мы решали его относительно \(x\), мы совершили ошибку в замене. Верное выражение будет следующим:
\[\frac{x+y+z}{2} = x \Rightarrow z = \frac{x+y}{2}\]

Теперь заменим \(z\) во втором уравнении и упростим выражение:
\[\frac{x+y+z}{2} = y + \frac{x+y}{2} \Rightarrow \frac{x+y+(\frac{x+y}{2})}{2} = y + \frac{x+y}{2}\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[\frac{x+y+x+y}{4} = y + \frac{x+y}{2}\]

Сократим дробь на 2 и упростим еще раз:
\[\frac{2x+2y}{4}=y+\frac{x+y}{2}\]

Раскроем скобки и упростим:
\[\frac{2x+2y}{4}=y+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\]

Сократим дробь на 2 и упростим выражение:
\[\frac{x+y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}\]

Теперь у нас получилось равенство, которое имеет смысл. Оба выражения равны и не противоречат друг другу. Решим его:
\[\frac{x+y}{2} - \frac{x}{2} = \frac{y}{2}\]
\[\frac{y}{2} = \frac{y}{2}\]

Это тождественное уравнение, которое верно для любых значений \(y\). Это говорит нам о том, что значение \(y\) может быть любым. Давайте выберем \(y = 0\), чтобы сделать выражения более простыми.

Теперь возвращаемся к первому уравнению и заменяем \(y = 0\):
\[z = \frac{x+y}{2} \Rightarrow z = \frac{x}{2}\]
\[x + y + z = 48 \Rightarrow x + 0 + \frac{x}{2} = 48\]
\[x + \frac{x}{2} = 48 \Rightarrow \frac{3x}{2} = 48\]
\[3x = 96 \Rightarrow x = 32\]

Теперь мы знаем, что \(x = 32\). Подставим это значение в третье уравнение, чтобы найти значение \(z\):
\[x + y + z = 48 \Rightarrow 32 + 0 + z = 48 \Rightarrow z = 16\]

Таким образом, мы получили ответ: в парке 32 березы, 0 сосен и 16 кленов.

Подведем итог: в парке растет 32 березы, 0 сосен и 16 кленов. Мы пришли к этому ответу, анализируя задачу шаг за шагом и решая систему уравнений. Это подробное решение позволяет легко понять, как мы пришли к этому ответу.