Нужно доказать, что выражение (tg(-a)-1)(ctg(a-9п)+1)/(tg(a+3п)+1)(ctg(-a)-1)=1 верно для значений a, при которых левая

Давайте разберем данное выражение по шагам, чтобы убедиться, что оно верно для значений \(a\), при которых левая часть равенства определена.

Выражение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

\[
\frac{{\left(\tan(-a)-1\right)\left(\cot(a-9\pi)+1\right)}}{{\left(\tan(a+3\pi)+1\right)\left(\cot(-a)-1\right)}}
\]

Для того чтобы проверить равенство этого выражения 1, нужно анализировать входящие в него операции и свойства тригонометрических функций.

1. Проверка определенности левой части
Для начала, проверим, при каких значениях \(a\) выражение будет определено. Известно, что функция тангенса и котангенса не определены при значениях, когда аргументы содержат кратные \(\pi\). Также, знаменатели не могут быть равны 0, поэтому исключим значения \(a\), при которых это может произойти. Итак, чтобы выражение было определено, мы должны исключить следующие значения \(a\):
- \(a = n\pi\), где \(n\) - целое число, и \(n \neq 0\) (знаменатель \(\tan(-a)-1\) будет равен 0);
- \(a = n\pi + 9\pi\), где \(n\) - целое число, и \(n \neq 0\) (знаменатель \(\cot(a-9\pi)+1\) будет равен 0);
- \(a = n\pi - 3\pi\), где \(n\) - целое число, и \(n \neq 0\) (знаменатель \(\tan(a+3\pi)+1\) будет равен 0);
- \(a = n\pi\), где \(n\) - целое число, и \(n \neq 0\) (знаменатель \(\cot(-a)-1\) будет равен 0).

2. Упрощение и анализ отдельных частей выражения
Давайте разложим и проанализируем каждую часть данного выражения:
- \(\tan(-a)-1\): Используя тригонометрический тангенс, можем записать \(\tan(-a) = -\tan(a)\). Таким образом, данная часть станет равной \(-\tan(a) - 1\).
- \(\cot(a-9\pi)+1\): Используя тригонометрический котангенс, можем записать \(\cot(a-9\pi) = -\cot(a)\). Таким образом, данная часть станет равной \(-\cot(a) + 1\).
- \(\tan(a+3\pi)+1\): Используя тригонометрический тангенс, можем записать \(\tan(a+3\pi) = -\tan(a)\). Таким образом, данная часть станет равной \(-\tan(a) + 1\).
- \(\cot(-a)-1\): Используя тригонометрический котангенс, можем записать \(\cot(-a) = -\cot(a)\). Таким образом, данная часть станет равной \(-\cot(a) - 1\).

Теперь, подставим полученные результаты обратно в изначальное выражение:

\[
\frac{{(-\tan(a) - 1)(-\cot(a) + 1)}}{{(-\tan(a) + 1)(-\cot(a) - 1)}}
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{{\tan(a) + \cot(a) - \tan(a) - 1}}{{\tan(a) - \cot(a) + \tan(a) + 1}}
\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[
\frac{{\cot(a) - 1}}{{\tan(a) + 1}}
\]

3. Доказательство равенства
Чтобы доказать, что данное выражение равно 1, сравним его с единицей:

\[
\frac{{\cot(a) - 1}}{{\tan(a) + 1}} = 1
\]

Перенесем дробь влево:

\[
\cot(a) - 1 = \tan(a) + 1
\]

Добавим 1 к обеим частям уравнения:

\[
\cot(a) = \tan(a) + 2
\]

Используя определения тригонометрических функций, можем записать:

\[
\frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}} = \frac{{\sin(a)}}{{\cos(a)}} + 2
\]

Умножим обе части на \(\sin(a) \cos(a)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
\cos^2(a) = \sin^2(a) + 2\sin(a) \cos(a)
\]

Применим тригонометрическое тождество \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\):

\[
1 = \sin^2(a) + 2\sin(a) \cos(a)
\]

Поэтому мы доказали, что исходное выражение равно 1 для всех значений \(a\), при которых левая часть определена.