Нужно доказать, что когда треугольник, параллельный плоскости, проецируется на другую плоскость, его площадь остаётся

Чтобы доказать, что при проекции треугольника, параллельного плоскости, на другую плоскость его площадь остаётся неизменной, воспользуемся следующими шагами.

1. Рассмотрим треугольник ABC, лежащий в плоскости P, и параллельную ему плоскость Q. Пусть треугольник А"В"С" - это проекция треугольника ABC на плоскость Q.

2. Для начала, чтобы лучше понять проекцию, представим, что треугольник ABC и плоскость Q изготовлены из прозрачного материала. Таким образом, когда мы проецируем треугольник ABC на плоскость Q, каждая точка треугольника будет видна через плоскость ABC, как если бы мы смотрели на неё сквозь плоскость Q. Это поможет нам визуализировать проекцию треугольника.

3. Затем, построим перпендикуляры из вершин треугольника ABC на плоскость Q. Обозначим эти перпендикуляры как AH, BK и CL, где H, K и L - это точки пересечения перпендикуляров с плоскостью Q.

4. Очевидно, что отрезки AH, BK и CL являются высотами соответствующих треугольников ABC и А"В"С". Для того чтобы доказать, что площадь треугольников остается неизменной, нам нужно доказать, что высоты AH, BK и CL тоже остаются неизменными.

5. Рассмотрим отрезок AH. Поскольку треугольник ABC параллелен плоскости Q, отрезок AH будет перпендикулярен плоскости Q и, следовательно, будет являться кратчайшим расстоянием между точкой A и плоскостью Q.

6. Теперь, когда мы проецируем треугольник ABC на плоскость Q, треугольник А"В"С" будет параллелен плоскости Q и, следовательно, отрезок А"Н будет перпендикулярен плоскости Q и будет равен отрезку AH.

7. Аналогично, можно показать, что отрезки В"K и С"Л равны отрезкам ВК и СЛ.

8. Поскольку высоты треугольников ABC и А"В"С" равны, площади этих треугольников будут равны, поскольку площадь треугольника равна произведению основания на высоту, деленное на два.

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника, параллельного плоскости, остаётся неизменной при его проекции на другую плоскость.