Нужно доказать, что AP + QC равно AR

Для доказательства равенства \( AP + QC = AR \) нам нужно использовать информацию о заданной фигуре и свойствах прямых и треугольников. Предположим, что \( \Delta ABC \) - треугольник, где \( A \), \( B \), \( C \) - вершины треугольника, \( P \) - точка на стороне \( AB \), \( Q \) - точка на стороне \( BC \), и \( R \) - точка на стороне \( AC \).

Докажем равенство шаг за шагом:

Шаг 1: Мы начнем с разбиения треугольника на два треугольника, используя точки \( P \) и \( Q \). Проведем отрезки \( AP \) и \( CQ \).

Шаг 2: Теперь рассмотрим треугольник \( \Delta ACP \). По аксиоме "Угол-угол-угол" треугольник \( \Delta ABC \) подобен треугольнику \( \Delta ACP \), так как у них совпадают углы \( \angle A \) и \( \angle C \).

Шаг 3: Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон соответственных прямоугольных треугольников одинаково. Таким образом, мы можем записать отношение:

\[
\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AP}}
\]

Шаг 4: Если мы умножим обе стороны на \( AP \), получим:

\[
AP^2 = AB \cdot AC
\]

Шаг 5: Проведем отрезки \( AR \) и \( AQ \).

Шаг 6: Теперь рассмотрим треугольник \( \Delta AQR \). Аналогично шагу 2, по аксиоме "Угол-угол-угол" треугольник \( \Delta ABC \) подобен треугольнику \( \Delta AQR \), так как у них совпадают углы \( \angle A \) и \( \angle Q \).

Шаг 7: Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон соответственных прямоугольных треугольников одинаково. Таким образом, мы можем записать отношение:

\[
\frac{{AR}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AR}}
\]

Шаг 8: Если мы умножим обе стороны на \( AR \), получим:

\[
AR^2 = AB \cdot AQ
\]

Шаг 9: Так как \( AP^2 = AR^2 \) (из шага 4 и шага 8), мы можем сказать, что \( AP = AR \).

Шаг 10: Возвращаясь к исходному равенству \( AP + QC = AR \), мы можем заменить \( AP \) на \( AR \):

\[
AR + QC = AR
\]

Шаг 11: Используя свойство равенства, мы можем отнять \( AR \) с обеих сторон:

\[
QC = 0
\]

Шаг 12: Так как \( QC = 0 \), мы можем сделать вывод, что \( QC \) равно нулю. Следовательно, \( AP + QC = AR \) является верным.

Таким образом, мы доказали, что \( AP + QC = AR \) с помощью свойств треугольников и равенств.