Необходимо выполнить анализ синтаксиса предложения. Он быстро выздоравливал, и доктор Шевырев приказал держать дверь

Анализ синтаксиса предложения:
В данном предложении мы имеем сложное предложение с однородными членами предложения и условно-следственной связью.

1. Он быстро выздоравливал - главное предложение.
а. главное член предложения: Он
б. сказуемое: выздоравливал
в. обстоятельство: быстро

2. и - союз, связывает две части сложного предложения.
а. союз: и

3. доктор Шевырев приказал держать дверь в комнате открытой - придаточное предложение причинное.
а. придаточное предложение
б. подлежащее: доктор Шевырев
в. сказуемое: приказал держать
г. дополнение: дверь
д. обстоятельство места: в комнате
е. определение: открытой

4. Привязанный к постели из-за своей слабости и радующийся возвращенной жизни, он забывал о том, что за этой дверью есть другие закрытые двери, и он не мог об этом знать - главное предложение.
а. главное член предложения: он
б. сказуемое: забывал
в. обстоятельство причины: Привязанный к постели из-за своей слабости и радующийся возвращенной жизни,
г. дополнение: о том, что за этой дверью есть другие закрытые двери, и он не мог об этом знать.

5. что - вводное слово, вводит прямую речь.

Таким образом, данное предложение состоит из двух главных членов предложения, связанных союзом "и", а также включает придаточное предложение причинное. В предложении также есть вводное слово "что", которое вводит прямую речь. Все части предложения связаны смысловыми и грамматическими связями, что обеспечивает цельное и хорошо структурированное выражение смысла.