Необходимо проверить гипотезу о том, что вероятность отличной оценки на экзамене не зависит от факультета, на котором

Для проверки данной гипотезы мы можем использовать z-тест для двух долей. Давайте разберемся детально.

Шаг 1: Формулировка гипотезы
Пусть \(p_1\) - вероятность отличной оценки на экзамене факультета эконометрики, а \(p_2\) - вероятность отличной оценки на экзамене факультета менеджмент. Нулевая гипотеза состоит в том, что вероятность отличной оценки на экзамене не зависит от факультета, то есть \(H_0: p_1 = p_2\). Альтернативная гипотеза будет такой: \(H_1: p_1 \neq p_2\).

Шаг 2: Вычисление статистики
Для расчета статистики z нам необходимо знать выборочные пропорции отличников и их стандартные ошибки. Пусть \(n_1\) - количество студентов факультета эконометрики, \(n_2\) - количество студентов факультета менеджмент, \(x_1\) - количество отличников факультета эконометрики, и \(x_2\) - количество отличников факультета менеджмент.

Выборочная пропорция отличников для каждого факультета:
\(\hat{p_1} = \frac{x_1}{n_1}\)
\(\hat{p_2} = \frac{x_2}{n_2}\)

Стандартная ошибка для каждого факультета:
\(\hat{SE_1} = \sqrt{\frac{\hat{p_1} \cdot (1-\hat{p_1})}{n_1}}\)
\(\hat{SE_2} = \sqrt{\frac{\hat{p_2} \cdot (1-\hat{p_2})}{n_2}}\)

Шаг 3: Расчет статистики z
Статистика z расчитывается по формуле:
\[z = \frac{\hat{p_1} - \hat{p_2}}{\sqrt{\hat{SE_1}^2 + \hat{SE_2}^2}}\]

Шаг 4: Вычисление p-значения
Для двусторонней альтернативной гипотезы p-значение будет определяться как вероятность получения статистики z или еще более экстремальной, при условии справедливости нулевой гипотезы. В нашем случае, p-значение будет двусторонним.

Шаг 5: Принятие решения
Если p-значение меньше заданного уровня значимости \(\alpha\), мы отклоняем нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы. В противном случае, мы не можем отклонить нулевую гипотезу.

Давайте приступим к расчетам.

Для факультета эконометрики:
\(n_1 = 100, x_1 = 35\)
\(\hat{p_1} = \frac{35}{100} = 0.35\)
\(\hat{SE_1} = \sqrt{\frac{0.35 \cdot (1-0.35)}{100}}\)

Для факультета менеджмент:
\(n_2 = 150, x_2 = 40\)
\(\hat{p_2} = \frac{40}{150} = 0.2667\)
\(\hat{SE_2} = \sqrt{\frac{0.2667 \cdot (1-0.2667)}{150}}\)

Теперь рассчитаем статистику z:
\[z = \frac{\hat{p_1} - \hat{p_2}}{\sqrt{\hat{SE_1}^2 + \hat{SE_2}^2}}\]

После расчетов, получаем \(z = 1.68414\)

Теперь мы можем рассчитать p-значение. Поскольку наша альтернативная гипотеза двусторонняя, мы должны рассмотреть область слева и справа от полученного значения статистики z. Для каждой области мы находим соответствующие области под кривой нормального распределения и складываем их.

\[p\text{-значение} = P(Z < -1.68414) + P(Z > 1.68414)\]

Опираясь на таблицу значений z-статистики или используя калькулятор, получим \(p\text{-значение} = 0.092923\).

Наконец, сравниваем \(p\text{-значение}\) с заданным уровнем значимости \(\alpha = 0.02\).
Поскольку \(p\text{-значение}\) больше \(\alpha\), мы не можем отклонить нулевую гипотезу.

Таким образом, у нас нет достаточных оснований для того, чтобы сказать, что вероятность отличной оценки на экзамене зависит от факультета.