Необходимо доказать, что произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим

Чтобы доказать, что произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим многочленом, нам нужно уяснить, что такое "хороший многочлен".

Хороший многочлен - это многочлен с целыми коэффициентами, который имеет только целые корни. Это означает, что все корни многочлена должны быть целыми числами.

Теперь давайте предположим, что у нас есть два хороших многочлена: \(P(x)\) и \(Q(x)\) с целыми коэффициентами. Мы хотим доказать, что их произведение \(R(x) = P(x) \cdot Q(x)\) также является хорошим многочленом.

Для начала, давайте рассмотрим корень \(a\) многочлена \(R(x)\). Это значит, что \(R(a) = 0\). Давайте посмотрим, что происходит с \(R(a)\) при подстановке вместо \(x\) значение \(a\):

\[R(a) = P(a) \cdot Q(a)\]

Поскольку мы знаем, что \(P(x)\) и \(Q(x)\) - хорошие многочлены, то при подстановке целого числа \(a\) в каждый из них получается 0:

\[P(a) = 0\]
\[Q(a) = 0\]

Теперь вспомним свойство произведения чисел. Если одно из чисел равно 0, то и весь их произведение будет равно 0. Это означает, что \(P(a) \cdot Q(a) = 0\) или, другими словами, \(R(a) = 0\).

Таким образом, мы доказали, что если \(R(x)\) имеет корень \(a\), то \(a\) является целым числом.

Для того чтобы убедиться, что все корни \(R(x)\) - целые числа, давайте рассмотрим факторизацию многочлена \(R(x)\).

Мы можем факторизовать \(R(x)\) следующим образом:

\[R(x) = P(x) \cdot Q(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)\]

Где \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) - корни многочлена \(R(x)\).

Мы уже доказали, что каждый из корней \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) является целым числом. Следовательно, все корни \(R(x)\) - целые числа.

Таким образом, мы получаем, что произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим многочленом, так как все его корни - целые числа.

Надеюсь, данный подробный ответ был понятен и помог вам понять, почему произведение двух хороших многочленов с целыми коэффициентами также является хорошим многочленом.