Необходимо доказать, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными

Чтобы доказать, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными, мы должны проверить, что векторы, перпендикулярные одной плоскости, будут параллельны другой плоскости.

Для начала обратимся к плоскости aa1c1. Плоскость aa1c1 определяется тремя точками: a, a1 и c1. Поэтому, чтобы определить нормальный вектор для плоскости aa1c1, мы можем использовать векторное произведение двух векторов находящихся в этой плоскости.

Пусть a = (x1, y1, z1), a1 = (x2, y2, z2) и c1 = (x3, y3, z3) - это координаты трех точек, лежащих в плоскости aa1c1. Тогда векторы, лежащие в плоскости aa1c1 могут быть определены следующим образом:

\(\vec{v_1} = \vec{a_1} - \vec{a} = (x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1)\)
\(\vec{v_2} = \vec{c_1} - \vec{a} = (x3 - x1 , y3 - y1 , z3 - z1)\)

Используя векторное произведение двух векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\), мы можем найти нормальный вектор плоскости aa1c1:

\(\vec{N_{aa1c1}} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}\)

Теперь обратимся к плоскости mhp. Плоскость mhp также определяется тремя точками: m, h и p. Поэтому, чтобы определить нормальный вектор для плоскости mhp, мы можем использовать векторное произведение двух векторов в этой плоскости.

Пусть m = (x4, y4, z4), h = (x5, y5, z5) и p = (x6, y6, z6) - это координаты трех точек, лежащих в плоскости mhp. Тогда векторы, лежащие в плоскости mhp могут быть определены следующим образом:

\(\vec{v_3} = \vec{h} - \vec{m} = (x5 - x4 , y5 - y4 , z5 - z4)\)
\(\vec{v_4} = \vec{p} - \vec{m} = (x6 - x4 , y6 - y4 , z6 - z4)\)

Используя векторное произведение двух векторов \(\vec{v_3}\) и \(\vec{v_4}\), мы можем найти нормальный вектор плоскости mhp:

\(\vec{N_{mhp}} = \vec{v_3} \times \vec{v_4}\)

Теперь, чтобы доказать, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными, мы должны проверить, что нормальные векторы плоскостей параллельны между собой. Иначе говоря, скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю:

\(\vec{N_{aa1c1}} \cdot \vec{N_{mhp}} = 0\)

Если это условие выполняется, то мы можем сделать вывод, что плоскости aa1c1 и mhp являются взаимно перпендикулярными. Если это условие не выполняется, то плоскости не являются взаимно перпендикулярными.

Надеюсь, это объяснение позволило тебе лучше понять, как доказать взаимную перпендикулярность двух плоскостей aa1c1 и mhp.