Недавно я узнал из газеты о танкисте, который впал в плен фашистам. Этот человек впечатлил меня своей храбростью

он сумеет доехать до финиша без получения слишком серьезного повреждения танка. Танк вооружен специальным бронированием, которое способно выдержать удары пушечных снарядов, но не более определенного количества. Танкист рассчитал, что вероятность попадания в него снарядом равна 0.3. Он знает, что танк способен выдержать только 5 прямых попаданий. Вопрос: Какова вероятность, что танк сможет доехать до финиша без получения слишком серьезного повреждения?

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить биномиальное распределение. Как известно, биномиальное распределение определяет вероятность получения определенного количества успехов в серии независимых испытаний.

В данном случае, каждое выстрел является независимым испытанием и может закончиться успехом (попадание в танк) или неудачей (промах). Вероятность успеха, то есть попадания в танк, равна \(0.3\) для каждого выстрела.

Таким образом, нам нужно рассчитать вероятность того, что из 16 выстрелов не более 5 окажутся попаданиями.

Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где:
\(P(X=k)\) - вероятность получения \(k\) попаданий,
\(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\),
\(p\) - вероятность успеха в одном испытании,
\(1-p\) - вероятность неудачи в одном испытании,
\(n\) - общее количество испытаний.

В нашем случае, \(n = 16\), \(p = 0.3\) и нам нужно рассчитать вероятность получения не более 5 попаданий (\(k \leq 5\)).

Теперь давайте посчитаем нужные значения:

Для \(k = 0\):
\[P(X=0) = C_{16}^0 \cdot (0.3)^0 \cdot (1-0.3)^{16-0} = (1-0.3)^{16} = 0.3^{16}\]

Для \(k = 1\):
\[P(X=1) = C_{16}^1 \cdot (0.3)^1 \cdot (1-0.3)^{16-1} = 16 \cdot 0.3 \cdot (1-0.3)^{15} = 0.3^{15}\]

Аналогично, мы можем рассчитать вероятности для \(k = 2, 3, 4, 5\) и сложить их:

\[P(X\leq5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\]

Таким образом, вероятность того, что танк сможет доехать до финиша без получения слишком серьезного повреждения, равна:

\[P(X\leq5) = 0.3^{16} + 0.3^{15} + 0.3^{14} + 0.3^{13} + 0.3^{12} + 0.3^{11}\]