Найти значение суммы s, которая уже известна и конечна, а я уже полчаса обдумываю. s = \frac{1}{3}-\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}-\frac{7}{3^4}++(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}
Волшебник
Конечная сумма s, которую вы хотите найти, является суммой арифметической прогрессии, у которой каждый член представлен дробью с знаками, включающими некоторые переменные и числовые значения. Давайте проанализируем ее пошагово.
1. В начале распишите первые несколько членов суммы (предполагая, что n начинается с 1):
2. Выделите общий множитель (числитель дроби) в каждом члене суммы:
3. Перепишите новую сумму внутри скобок:
4. Заметьте, что каждое следующее слагаемое имеет знак, который сменяется между плюсом и минусом, а числитель дроби возрастает в арифметической прогрессии (2n-1). Когда n четное, знак плюса, а когда n нечетное, знак минуса. Таким образом, можно просто использовать (-1)^n, чтобы представить эту смену знаков.
5. Перепишем сумму с использованием (-1)^n:
6. Теперь, когда все слагаемые имеют одинаковый знак (-1)^n, мы можем объединить их в одну дробь:
7. Внутри скобок мы видим сумму арифметической прогрессии ряда . Члены этого ряда также являются арифметической прогрессией, поскольку наш числитель (2n-1) увеличивается на 2 с каждым следующим членом.
8. Для нахождения суммы вышеупомянутого ряда, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
где - первый член ряда, - последний член ряда, n - количество членов ряда.
В нашем случае:
Количество членов ряда n в данном случае равно n.
Подставив значения в формулу, получим:
9. Теперь подставим полученную сумму ряда в выражение для s и решим:
Таким образом, мы получили выражение для значения суммы s, которое уже известно и конечно. Надеюсь, это понятно и поможет вам полностью понять задачу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.
1. В начале распишите первые несколько членов суммы (предполагая, что n начинается с 1):
2. Выделите общий множитель
3. Перепишите новую сумму внутри скобок:
4. Заметьте, что каждое следующее слагаемое имеет знак, который сменяется между плюсом и минусом, а числитель дроби возрастает в арифметической прогрессии (2n-1). Когда n четное, знак плюса, а когда n нечетное, знак минуса. Таким образом, можно просто использовать (-1)^n, чтобы представить эту смену знаков.
5. Перепишем сумму с использованием (-1)^n:
6. Теперь, когда все слагаемые имеют одинаковый знак (-1)^n, мы можем объединить их в одну дробь:
7. Внутри скобок мы видим сумму арифметической прогрессии ряда
8. Для нахождения суммы вышеупомянутого ряда, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
где
В нашем случае:
Количество членов ряда n в данном случае равно n.
Подставив значения в формулу, получим:
9. Теперь подставим полученную сумму ряда в выражение для s и решим:
Таким образом, мы получили выражение для значения суммы s, которое уже известно и конечно. Надеюсь, это понятно и поможет вам полностью понять задачу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.
Знаешь ответ?