Найти значение суммы s, которая уже известна и конечна, а я уже полчаса обдумываю. s = frac{1}{3}- frac{3}{3^2

Найти значение суммы s, которая уже известна и конечна, а я уже полчаса обдумываю. s = \frac{1}{3}-\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}-\frac{7}{3^4}++(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}
Волшебник

Волшебник

Конечная сумма s, которую вы хотите найти, является суммой арифметической прогрессии, у которой каждый член представлен дробью с знаками, включающими некоторые переменные и числовые значения. Давайте проанализируем ее пошагово.

1. В начале распишите первые несколько членов суммы (предполагая, что n начинается с 1):
s=13332+533734++(1)n+12n13n

2. Выделите общий множитель 13 (числитель дроби) в каждом члене суммы:
s=13(133+532733++(1)n+12n13n1)

3. Перепишите новую сумму внутри скобок:
s=13(1+(1)2332+(1)3533+(1)4734++(1)n+12n13n1)

4. Заметьте, что каждое следующее слагаемое имеет знак, который сменяется между плюсом и минусом, а числитель дроби возрастает в арифметической прогрессии (2n-1). Когда n четное, знак плюса, а когда n нечетное, знак минуса. Таким образом, можно просто использовать (-1)^n, чтобы представить эту смену знаков.

5. Перепишем сумму с использованием (-1)^n:
s=13(1+(1)n332+(1)n533+(1)n734++(1)n2n13n1)

6. Теперь, когда все слагаемые имеют одинаковый знак (-1)^n, мы можем объединить их в одну дробь:
s=13(1+(1)n(332+533+734++2n13n1))

7. Внутри скобок мы видим сумму арифметической прогрессии ряда 332+533+734++2n13n1. Члены этого ряда также являются арифметической прогрессией, поскольку наш числитель (2n-1) увеличивается на 2 с каждым следующим членом.

8. Для нахождения суммы вышеупомянутого ряда, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
a1+an2n
где a1 - первый член ряда, an - последний член ряда, n - количество членов ряда.

В нашем случае:
a1=332=13,
an=2n13n1.

Количество членов ряда n в данном случае равно n.

Подставив значения в формулу, получим:
13+2n13n12n

9. Теперь подставим полученную сумму ряда в выражение для s и решим:
s=13(1+(1)n13+2n13n12n)

Таким образом, мы получили выражение для значения суммы s, которое уже известно и конечно. Надеюсь, это понятно и поможет вам полностью понять задачу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello