Найти вероятность ( | 2x-y | < z ), где случайные величины x и y являются независимыми и распределены по нормальному

Для решения задачи, нам необходимо найти вероятность того, что абсолютное значение разности \(|2x-y|\) будет меньше заданной величины \(z\), где \(x\) и \(y\) являются независимыми случайными величинами.

Из условия задачи известно, что \(x\) распределен по нормальному закону с математическим ожиданием \(m_x = 3\) и дисперсией \(d_x = 9\), а также что \(y\) распределен по нормальному закону с математическим ожиданием \(m_y = 2\) и дисперсией \(d_y = 1\).

Для начала, давайте определим функцию распределения \(f(x)\) для случайной величины \(x\) и функцию распределения \(g(y)\) для случайной величины \(y\).

Функция распределения \(f(x)\) задается формулой:

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi d_x}} \cdot e^{-\frac{(x-m_x)^2}{2d_x}}\]

И функция распределения \(g(y)\) задается формулой:

\[g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi d_y}} \cdot e^{-\frac{(y-m_y)^2}{2d_y}}\]

Теперь, чтобы найти искомую вероятность, необходимо рассмотреть все возможные комбинации значений \(x\) и \(y\), при которых условие \(|2x-y| < z\) выполняется, и определить вероятность для каждой из таких комбинаций.

Давайте разобьем решение задачи на несколько шагов для большей ясности.

Шаг 1: Определение интервалов значения \(x\), соответствующих условию \(|2x-y| < z\).

Посмотрим на два возможных случая:

Случай 1: Если \(2x - y \geq 0\), то условие \(|2x-y| < z\) можно переписать как \(2x-y < z\).

Случай 2: Если \(2x - y < 0\), то условие \(|2x-y| < z\) можно переписать как \(-(2x-y) < z\).

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1 (\(2x - y \geq 0\)):
Если \(2x - y \geq 0\), то условие \(2x-y < z\) преобразуется в неравенство \(y > 2x - z\).

Из данного неравенства можно выразить \(y\) как функцию \(x\): \(y = 2x - z\).

Теперь воспользуемся функцией распределения \(f(x)\) для определения вероятности на интервале значений \(x\).

Вероятность \(P_1\), что случайная величина \(x\) принимает значения в интервале, соответствующем условию \(2x - y \geq 0\), можно вычислить следующим образом:

\[P_1 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot (1 - G(2x - z)) \, dx\]

где \(G(u)\) - функция распределения для случайной величины \(2x - z\).

Случай 2 (\(2x - y < 0\)):
Если \(2x - y < 0\), то условие \(-(2x-y) < z\) преобразуется в неравенство \(y < 2x + z\).

Из данного неравенства можно выразить \(y\) как функцию \(x\): \(y = 2x + z\).

Вероятность \(P_2\), что случайная величина \(x\) принимает значения в интервале, соответствующем условию \(2x - y < 0\), можно вычислить следующим образом:

\[P_2 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot G(2x + z) \, dx\]

Теперь, чтобы определить итоговую вероятность, нужно сложить вероятности \(P_1\) и \(P_2\):

\[P = P_1 + P_2\]

Полученная вероятность \(P\) будет ответом на задачу.