Найти среднее расстояние от Сатурна до его спутников Мимаса и Реи, которые обращаются вокруг планеты соответственно

Чтобы найти среднее расстояние от Сатурна до спутников Мимаса и Реи, нам необходимо использовать Третий закон Кеплера, который говорит о том, что квадрат периода обращения небесного тела пропорционален кубу большой полуоси его орбиты.

Для начала, давайте найдем большую полуось орбиты Мимаса. Для этого воспользуемся следующей формулой:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}{a}^3$$

Где $T$ - период обращения, $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Сатурна, $m$ - масса Мимаса, $a$ - большая полуось орбиты.

У нас уже дан период обращения Мимаса - 22 часа 37 минут, но для удобства давайте переведем его в секунды:

22 часа = 22 * 60 * 60 = 79200 секунд
37 минут = 37 * 60 = 2220 секунд

Теперь, подставим известные значения в формулу:

$$(79200+2220{)}^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}{a}^3$$

Часто используемое значение гравитационной постоянной $G$ составляет $6,67430\times {10}^{-11}{\text{м}}^3/(\text{кг}{\text{с}}^2)$. Масса Сатурна $M$ составляет приблизительно $5,68\times {10}^{26}\text{кг}$, а масса Мимаса $m$ составляет приблизительно $3,75\times {10}^{19}\text{кг}$.

Теперь мы можем решить данное уравнение для большой полуоси $a$.

Проделаем аналогичные шаги для спутника Рея, используя его период обращения 4 дня 518 секунд. Нам придется перевести 4 дня в секунды:

4 дня = 4 * 24 * 60 * 60 = 345600 секунд

Теперь, зная все необходимые значения, мы можем решить уравнение для большой полуоси $a$ орбиты Рея.

После того, как мы найдем значения больших полуосей орбит Мимаса и Рея ($a_1$ и $a_2$), мы можем вычислить среднее расстояние от Сатурна до каждого спутника. Формула для среднего расстояния ($d$) на основе большой полуоси ($a$) выглядит следующим образом:

$$d=a(1-e)$$

Где $e$ - эксцентриситет орбиты. Для спутников Мимаса и Рея величину эксцентриситета можно считать незначительной, и поэтому можно считать $e\approx 0$.

Итак, мы получим среднее расстояние от Сатурна до каждого спутника Мимаса и Рея по формуле $d=a$.

Давайте начнем с расчетов и найдем среднее расстояние до Мимаса и Рея от Сатурна.