Найти решение данного уравнения: (синx+косx)^3=4синx

Конечно! Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Итак, дано уравнение: \((\sin x + \cos x)^3 = 4\sin x\).

Для начала, раскроем куб суммы \((\sin x + \cos x)^3\). Это можно сделать, применив формулу куба суммы двух чисел:

\((\sin x + \cos x)^3 = \sin^3 x + 3\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x + \cos^3 x\).

Теперь у нас получилось:

\(\sin^3 x + 3\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x + \cos^3 x = 4\sin x\).

Далее, сгруппируем похожие слагаемые:

\(\sin^3 x + \cos^3 x + 3\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x = 4\sin x\).

Заметим, что \(\sin^3 x + \cos^3 x\) может быть переписано с использованием формулы суммы кубов:

\(\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)\).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\((\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) + 3\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x = 4\sin x\).

Теперь мы можем упростить уравнение, сократив общий множитель \(\sin x + \cos x\):

\((\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) + 3\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x = 4\).

Приведем подобные слагаемые:

\(2\sin^2 x \cos x + 3\sin x \cos^2 x + \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x = 4\).

Для дальнейшего упрощения уравнения, воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Используем эту формулу, чтобы заменить слагаемое \(2\sin^2 x \cos x\):

\(\sin 2x \cos x + 3\sin x \cos^2 x + \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x = 4\).

Упростим еще немного:

\(\sin 2x \cos x + \sin^2 x + 2\sin x \cos^2 x = 4\).

Используем формулу синуса двойного угла еще раз, чтобы заменить \(\sin 2x\):

\(\sin^2 x + \sin x \cdot (\sin x + 2\cos^2 x) = 4\).

Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду, сгруппируя слагаемые:

\(\sin^2 x + \sin^2 x + 2\cos^2 x \sin x = 4\).

Так как \(\sin^2 x + \sin^2 x = 2\sin^2 x\), то:

\(2\sin^2 x + 2\cos^2 x \sin x = 4\).

Теперь, разделим уравнение на 2:

\(\sin^2 x + \cos^2 x \sin x = 2\).

Помним, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), поэтому:

\(\sin^2 x + (1 - \sin^2 x) \sin x = 2\).

Приведем подобные слагаемые:

\(\sin^2 x + \sin x - \sin^3 x = 2\).

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом подстановок или графическим методом. Я решу это уравнение графически.

Построим график функции \(y = \sin^2 x + \sin x - \sin^3 x - 2\). Для этого, представим его в виде \(y = f(x)\):

\(f(x) = \sin^2 x + \sin x - \sin^3 x - 2\).

Некоторые значения x и соответствующие значения y позволят нам понять, где график пересекает ось y (то есть, когда значение y равно 0). Подставим несколько значений x и найдем соответствующие значения y.