Найти радиус окружности с центром вне треугольника, которая касается продолжений боковых сторон треугольника

Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые свойства треугольников и окружностей.

Представим себе треугольник АВС, где АВ - основание треугольника, длина которого равна 4,2. Окружность, вписанная в треугольник АВС, будет касаться стороны АВ и продолжений сторон АС и ВС, как показано на рисунке:

$$\begin{array}{rl}& C\\ & ||\\ & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}||\\ & ||\\ & ||\\ & AB\end{array}$$

Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, как $r$. Также введем переменные $x$ и $y$ для обозначения отрезков AC и BC соответственно. Тогда отрезки AC и BC будут равны $4,2-x$ и $4,2-y$ соответственно.

Теперь, воспользуемся свойством касательной. Касательная, проведенная из точки касания, является перпендикулярной радиусу окружности. Так как точка касания окружности с продолжением стороны АС совпадает с точкой пересечения сторон AC и AB, то линия, проходящая через эту точку касания, будет являться перпендикуляром к стороне АС. Аналогично, линия, проходящая через точку касания окружности с продолжением стороны ВС, будет перпендикулярна стороне ВС.

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}& r^2=x\cdot (4,2-x)\\ & r^2=y\cdot (4,2-y)\end{array}$$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. Уравнение для отрезка AC:
$$\begin{array}{rl}& r^2=x\cdot (4,2-x)\\ & r^2=4,2x-x^2\end{array}$$

2. Уравнение для отрезка BC:
$$\begin{array}{rl}& r^2=y\cdot (4,2-y)\\ & r^2=4,2y-y^2\end{array}$$

Теперь объединим оба уравнения и решим полученное уравнение:

$$\begin{array}{rl}& 4,2x-x^2=4,2y-y^2\\ & 4,2x-4,2y=x^2-y^2\\ & 4,2(x-y)=(x+y)(x-y)\\ & 4,2=x+y\end{array}$$

Таким образом, мы получили, что сумма отрезков AC и BC равна 4,2.

Для нахождения радиуса окружности $r$ исходной задачи, можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как треугольник АВС прямоугольный:

$$\begin{array}{rl}& (4,2-x{)}^2+(4,2-y{)}^2=r^2\end{array}$$

Теперь мы можем подставить значение суммы отрезков AC и BC и продолжить решение задачи. Пожалуйста, предоставьте недостающую информацию значениями переменных $x$ и $y$.