Найдите значения x, при которых уравнение будет выполняться в заданных интервалах: 1) sin(x - 450°) - cos(3х – 180°) = 0, 0° < x < 180°; 2) sin(x + 270°) - cos(3х + 720°), 40° < x < 90°; 3) cos(-5x - 180°) - sin(4х + 630°), о* < x < 90°; 4) cos(4х – 180°) - sin(2x + 90°) = 0, 180° < x < 270°
Андреевна
Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и найдем значения x, при которых они будут выполняться.
1) Уравнение: \(\sin(x - 450^\circ) - \cos(3x - 180^\circ) = 0\), где \(0^\circ < x < 180^\circ\)
Для начала, мы можем запомнить несколько основных тригонометрических тождеств, которые нам понадобятся:
\(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) и \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
Теперь мы можем использовать их, чтобы решить уравнение. Раскроем скобки в уравнении и заменим тригонометрические функции с помощью вышеупомянутых тождеств:
\(\sin x \cos 450^\circ - \cos x \sin 450^\circ - \cos 3x \cos 180^\circ + \sin 3x \sin 180^\circ = 0\)
Упростим это уравнение еще дальше, зная, что \(\cos 450^\circ = 0\) и \(\sin 180^\circ = 0\):
\(\sin x \cdot 0 - \cos x \cdot 1 - \cos 3x \cdot (-1) + \sin 3x \cdot 0 = 0\)
\(\cos x + \cos 3x = 0\)
Теперь используем тождество \(\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{{a + b}}{2}\right)\cos\left(\frac{{a - b}}{2}\right)\):
\(2\cos\left(\frac{{x + 3x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{x - 3x}}{2}\right) = 0\)
\(2\cos\left(\frac{{4x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{-2x}}{2}\right) = 0\)
\(\cos(2x) \cdot \cos(-x) = 0\)
Так как уравнение становится нулем только тогда, когда один из множителей равен нулю, мы можем рассмотреть два случая:
а) \(\cos(2x) = 0\) и
б) \(\cos(-x) = 0\)
а) Пусть \(\cos(2x) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\cos(2x) = 0\):
\(\cos(2x) = 0\) имеет следующие решения: \(2x = 90^\circ\), \(2x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем первое множество решений: \(x = 45^\circ\) и \(x = 135^\circ\)
б) Пусть \(\cos(-x) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\cos(-x) = 0\):
\(\cos(-x) = 0\) имеет следующие решения: \(-x = 90^\circ\), \(-x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем второе множество решений: \(x = -90^\circ\) и \(x = -270^\circ\)
Учитывая, что \(0^\circ < x < 180^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге получаем, что уравнение выполняется при \(x = 45^\circ\) и \(x = 135^\circ\).
2) Уравнение: \(\sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ)\), где \(40^\circ < x < 90^\circ\)
Повторим те же самые шаги, которые мы использовали для решения первого уравнения:
\(\sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ) = 0\)
Используя те же тригонометрические тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\sin x \cos 270^\circ + \cos x \sin 270^\circ - \cos 3x \cos 720^\circ - \sin 3x \sin 720^\circ = 0\)
\(-\sin x + \cos 3x = 0\)
Снова используем тождество \(\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{{a + b}}{2}\right)\cos\left(\frac{{a - b}}{2}\right)\):
\(2\cos\left(\frac{{3x - x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{3x + x}}{2}\right) = 0\)
\(2\cos(2x)\cos(2x) = 0\)
\(\cos^2(2x) = 0\)
Так как \(\cos^2(2x) = 0\) означает, что \(\cos(2x) = 0\), мы можем использовать аналогичный подход, который мы использовали в первом уравнении.
Решим уравнение \(\cos(2x) = 0\):
\(\cos(2x) = 0\) имеет следующие решения: \(2x = 90^\circ, 2x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = 45^\circ, x = 135^\circ\).
Учитывая, что \(40^\circ < x < 90^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = 45^\circ\).
3) Уравнение: \(\cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ)\), где \(0^\circ < x < 90^\circ\)
Применим те же самые шаги к данному уравнению:
\(\cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ) = 0\)
Используя тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\cos(-5x)\cos 180^\circ + \sin5x\sin180^\circ - \sin4x\cos 630^\circ - \cos4x\sin630^\circ = 0\)
\(\cos 5x - \sin 4x = 0\)
Теперь мы можем использовать тождество \(\cos a - \sin b = \sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - a - b\right)\) для упрощения уравнения:
\(\sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 5x - 4x\right) = 0\)
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\):
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\) имеет следующие решения: \(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x = 0\), \(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x = \pi\) (вычитаем \(\frac{{\pi}{}}{4}\) и делим на -9 чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\) и \(x = \frac{{7{\pi}{}}}{36}\).
Учитывая, что \(0^\circ < x < 90^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\).
4) Уравнение: \(\cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0\), где \(180^\circ < x < 270^\circ\)
Повторим те же самые шаги, которые мы использовали для решения предыдущих уравнений:
\(\cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0\)
Используя тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\cos 4x \cos 180^\circ + \sin 4x \sin 180^\circ - \sin 2x \cos 90^\circ - \cos 2x \sin 90^\circ = 0\)
Учитывая, что \(\cos 180^\circ = -1\) и \(\sin 180^\circ = 0\), упростим уравнение:
\(-\cos 4x + \sin 2x = 0\)
Теперь можем использовать тождество \(-\cos a + \sin b = \sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - a - b\right)\) для упрощения уравнения:
\(\sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 4x - 2x\right) = 0\)
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\)
Аналогично третьему уравнению, чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\):
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\) имеет следующие решения: \(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x = 0\), \(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x = \pi\) (вычитаем \(\frac{{\pi}{}}{4}\) и делим на -6 чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = \frac{{\pi}{}}{24}\) и \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\).
Учитывая, что \(180^\circ < x < 270^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\).
Итак, резюмируя, значения x, при которых заданные уравнения выполняются в заданных интервалах, таковы:
1) \(x = 45^\circ, 135^\circ\)
2) \(x = 45^\circ\)
3) \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\)
4) \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\)
1) Уравнение: \(\sin(x - 450^\circ) - \cos(3x - 180^\circ) = 0\), где \(0^\circ < x < 180^\circ\)
Для начала, мы можем запомнить несколько основных тригонометрических тождеств, которые нам понадобятся:
\(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) и \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
Теперь мы можем использовать их, чтобы решить уравнение. Раскроем скобки в уравнении и заменим тригонометрические функции с помощью вышеупомянутых тождеств:
\(\sin x \cos 450^\circ - \cos x \sin 450^\circ - \cos 3x \cos 180^\circ + \sin 3x \sin 180^\circ = 0\)
Упростим это уравнение еще дальше, зная, что \(\cos 450^\circ = 0\) и \(\sin 180^\circ = 0\):
\(\sin x \cdot 0 - \cos x \cdot 1 - \cos 3x \cdot (-1) + \sin 3x \cdot 0 = 0\)
\(\cos x + \cos 3x = 0\)
Теперь используем тождество \(\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{{a + b}}{2}\right)\cos\left(\frac{{a - b}}{2}\right)\):
\(2\cos\left(\frac{{x + 3x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{x - 3x}}{2}\right) = 0\)
\(2\cos\left(\frac{{4x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{-2x}}{2}\right) = 0\)
\(\cos(2x) \cdot \cos(-x) = 0\)
Так как уравнение становится нулем только тогда, когда один из множителей равен нулю, мы можем рассмотреть два случая:
а) \(\cos(2x) = 0\) и
б) \(\cos(-x) = 0\)
а) Пусть \(\cos(2x) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\cos(2x) = 0\):
\(\cos(2x) = 0\) имеет следующие решения: \(2x = 90^\circ\), \(2x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем первое множество решений: \(x = 45^\circ\) и \(x = 135^\circ\)
б) Пусть \(\cos(-x) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\cos(-x) = 0\):
\(\cos(-x) = 0\) имеет следующие решения: \(-x = 90^\circ\), \(-x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем второе множество решений: \(x = -90^\circ\) и \(x = -270^\circ\)
Учитывая, что \(0^\circ < x < 180^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге получаем, что уравнение выполняется при \(x = 45^\circ\) и \(x = 135^\circ\).
2) Уравнение: \(\sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ)\), где \(40^\circ < x < 90^\circ\)
Повторим те же самые шаги, которые мы использовали для решения первого уравнения:
\(\sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ) = 0\)
Используя те же тригонометрические тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\sin x \cos 270^\circ + \cos x \sin 270^\circ - \cos 3x \cos 720^\circ - \sin 3x \sin 720^\circ = 0\)
\(-\sin x + \cos 3x = 0\)
Снова используем тождество \(\cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{{a + b}}{2}\right)\cos\left(\frac{{a - b}}{2}\right)\):
\(2\cos\left(\frac{{3x - x}}{2}\right)\cos\left(\frac{{3x + x}}{2}\right) = 0\)
\(2\cos(2x)\cos(2x) = 0\)
\(\cos^2(2x) = 0\)
Так как \(\cos^2(2x) = 0\) означает, что \(\cos(2x) = 0\), мы можем использовать аналогичный подход, который мы использовали в первом уравнении.
Решим уравнение \(\cos(2x) = 0\):
\(\cos(2x) = 0\) имеет следующие решения: \(2x = 90^\circ, 2x = 270^\circ\) (прибавляем 360°, чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = 45^\circ, x = 135^\circ\).
Учитывая, что \(40^\circ < x < 90^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = 45^\circ\).
3) Уравнение: \(\cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ)\), где \(0^\circ < x < 90^\circ\)
Применим те же самые шаги к данному уравнению:
\(\cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ) = 0\)
Используя тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\cos(-5x)\cos 180^\circ + \sin5x\sin180^\circ - \sin4x\cos 630^\circ - \cos4x\sin630^\circ = 0\)
\(\cos 5x - \sin 4x = 0\)
Теперь мы можем использовать тождество \(\cos a - \sin b = \sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - a - b\right)\) для упрощения уравнения:
\(\sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 5x - 4x\right) = 0\)
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\)
Чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\):
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x\right) = 0\) имеет следующие решения: \(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x = 0\), \(\frac{{\pi}{}}{4} - 9x = \pi\) (вычитаем \(\frac{{\pi}{}}{4}\) и делим на -9 чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\) и \(x = \frac{{7{\pi}{}}}{36}\).
Учитывая, что \(0^\circ < x < 90^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\).
4) Уравнение: \(\cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0\), где \(180^\circ < x < 270^\circ\)
Повторим те же самые шаги, которые мы использовали для решения предыдущих уравнений:
\(\cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0\)
Используя тождества, раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\cos 4x \cos 180^\circ + \sin 4x \sin 180^\circ - \sin 2x \cos 90^\circ - \cos 2x \sin 90^\circ = 0\)
Учитывая, что \(\cos 180^\circ = -1\) и \(\sin 180^\circ = 0\), упростим уравнение:
\(-\cos 4x + \sin 2x = 0\)
Теперь можем использовать тождество \(-\cos a + \sin b = \sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - a - b\right)\) для упрощения уравнения:
\(\sqrt{2}\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 4x - 2x\right) = 0\)
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\)
Аналогично третьему уравнению, чтобы найти значения x для этого случая, мы должны решить уравнение \(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\):
\(\sin\left(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x\right) = 0\) имеет следующие решения: \(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x = 0\), \(\frac{{\pi}{}}{4} - 6x = \pi\) (вычитаем \(\frac{{\pi}{}}{4}\) и делим на -6 чтобы найти все решения)
Таким образом, получаем множество решений \(x = \frac{{\pi}{}}{24}\) и \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\).
Учитывая, что \(180^\circ < x < 270^\circ\), мы исключаем значения, которые не принадлежат этому интервалу. В итоге одно решение: \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\).
Итак, резюмируя, значения x, при которых заданные уравнения выполняются в заданных интервалах, таковы:
1) \(x = 45^\circ, 135^\circ\)
2) \(x = 45^\circ\)
3) \(x = \frac{{\pi}{}}{36}\)
4) \(x = \frac{{5{\pi}{}}}{24}\)
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
