Найдите высоту усеченного конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 48π, а площадь боковой поверхности

Пусть высота исходного конуса равна \( H_1 \), радиус основания исходного конуса равен \( r_1 \), а радиус основания усеченного конуса равен \( r_2 \).

Мы знаем, что площадь боковой поверхности конуса равна \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l \), где \( r \) - радиус основания, а \( l \) - образующая.

Таким образом, отношение площадей боковых поверхностей исходного и усеченного конусов будет равно:

\[
\frac{{S_{\text{бок, исх}}}}{{S_{\text{бок, усеч}}}} = \frac{{\pi \cdot r_1 \cdot l_1}}{{\pi \cdot r_2 \cdot l_2}}
\]

Для нахождения высоты усеченного конуса, нам необходимо найти отношение высот исходного и усеченного конусов. Пусть высота усеченного конуса равна \( h_2 \).

Так как усеченный наклоненный трапецоид подобен прямому трапецоиду, то отношение высот и площадей боковых поверхностей будет одинаковым:

\[
\frac{{S_{\text{бок, исх}}}}{{H_1}} = \frac{{S_{\text{бок, усеч}}}}{{h_2}}
\]

Подставим известные значения:

\[
\frac{{48\pi}}{{H_1}} = \frac{{36\pi}}{{h_2}}
\]

Так как \( H_1 \) равна \( h_1 + h_2 \), где \( h_1 \) - высота усеченного наклоненного трапецоида с образующей \( l_1 \), получаем:

\[
\frac{{48\pi}}{{h_1 + h_2}} = \frac{{36\pi}}{{h_2}}
\]

Упростим эту формулу:

\[
48\pi \cdot h_2 = 36\pi \cdot (h_1 + h_2)
\]

\[
48\pi \cdot h_2 = 36\pi \cdot h_1 + 36\pi \cdot h_2
\]

Перенесем все слагаемые с \( h_2 \) влево, а все слагаемые с \( h_1 \) вправо:

\[
36\pi \cdot h_2 - 36\pi \cdot h_2 = 48\pi \cdot h_2 - 36\pi \cdot h_1
\]

\[
0 = 12\pi \cdot h_2 - 36\pi \cdot h_1
\]

Для нахождения \( h_2 \) выразим ее через \( h_1 \):

\[
12\pi \cdot h_2 = 36\pi \cdot h_1
\]

\[
h_2 = \frac{{36\pi \cdot h_1}}{{12\pi}}
\]

\[
h_2 = 3h_1
\]

Теперь найдем высоту усеченного конуса. Усеченный конус является похожим на исходный, но с уменьшенной высотой в 3 раза:

\[
h_2 = \frac{{H_1}}{{3}}
\]

Таким образом, высота усеченного конуса равна одной трети высоты исходного конуса.