Найдите, сколько существует целых чисел в диапазоне от 3712 до 8432, которые имеют одинаковую последнюю цифру

Чтобы найти ответ на данную задачу, давайте разобьем ее на несколько этапов.

Шаг 1: Найдем количество целых чисел от 3712 до 8432, которые кратны 13, 14 или 15.
Для этого мы можем пройтись по каждому числу в данном диапазоне и проверить, делится ли оно на 13, 14 или 15. Поскольку этот процесс может быть довольно долгим, давайте воспользуемся быстрее и эффективнее методом.

Количество целых чисел, кратных некоторому числу \(n\), в диапазоне от \(a\) до \(b\), можно найти с помощью формулы:

\[
\text{{Количество}} = \left\lfloor \frac{{b - a}}{{n}} \right\rfloor + 1
\]

Где \(\lfloor x \rfloor\) обозначает округление числа \(x\) до ближайшего целого числа вниз.

Применяя данную формулу для каждого из чисел 13, 14 и 15, получим следующие результаты:

\[
\begin{{align*}}
\text{{Количество чисел, кратных }} 13 & = \left\lfloor \frac{{8432 - 3712}}{{13}} \right\rfloor + 1 \\
& = \left\lfloor \frac{{4720}}{{13}} \right\rfloor + 1 \\
& = 363 + 1 \\
& = 364 \\
\end{{align*}}
\]

\[
\begin{{align*}}
\text{{Количество чисел, кратных }} 14 & = \left\lfloor \frac{{8432 - 3712}}{{14}} \right\rfloor + 1 \\
& = \left\lfloor \frac{{4720}}{{14}} \right\rfloor + 1 \\
& = 337 + 1 \\
& = 338 \\
\end{{align*}}
\]

\[
\begin{{align*}}
\text{{Количество чисел, кратных }} 15 & = \left\lfloor \frac{{8432 - 3712}}{{15}} \right\rfloor + 1 \\
& = \left\lfloor \frac{{4720}}{{15}} \right\rfloor + 1 \\
& = 314 + 1 \\
& = 315 \\
\end{{align*}}
\]

Шаг 2: Найдем количество целых чисел, у которых последняя цифра в двоичной и четверичной системах счисления одинакова.

Обратим внимание, что последняя цифра числа в двоичной системе счисления является остатком от деления этого числа на 2. Аналогично, последняя цифра числа в четверичной системе счисления является остатком от деления этого числа на 4.

Таким образом, нам нужно найти количество чисел, у которых остаток от деления на 2 и 4 одинаковый. Поскольку нас интересуют только последние цифры, мы можем рассмотреть только возможные значения этих остатков: 0, 1, 2 и 3.

Чтобы найти количество чисел из выбранного диапазона, удовлетворяющих этому условию, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\text{{Количество}} = \left\lfloor \frac{{\text{{количество чисел}}}}{{4}} \right\rfloor + 1
\]

Применяя данную формулу, получим количество чисел с одинаковой последней цифрой в двоичной и четверичной системах счисления:

\[
\begin{{align*}}
\text{{Количество чисел с одинаковой последней цифрой}} & = \left\lfloor \frac{{\text{{Количество чисел, кратных 13}}}}{{4}} \right\rfloor + 1 \\
& = \left\lfloor \frac{{364}}{{4}} \right\rfloor + 1 \\
& = 91 + 1 \\
& = 92 \\
\end{{align*}}
\]

Шаг 3: Найдем наименьшее из чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Найти наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям данной задачи, можно, сначала найдя наименьшее число, удовлетворяющее первым двум условиям (кратность 13, 14 или 15), а затем проверив его на соответствие третьему условию (одинаковая последняя цифра в двоичной и четверичной системах счисления).

Наименьшее число, кратное 13 и соответствующее третьему условию, равно 3715 (последняя цифра в двоичной и четверичной системах счисления равна 1).

Наименьшее число, кратное 14 и соответствующее третьему условию, равно 3712 (последняя цифра в двоичной и четверичной системах счисления равна 0).

Наименьшее число, кратное 15 и соответствующее третьему условию, равно 3715 (последняя цифра в двоичной и четверичной системах счисления равна 1).

Следовательно, наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям данной задачи, равно 3712.