Найдите, пожалуйста, функцию у=f(x), которая является четной и задана следующим образом: f(x)=х4ctg2х. Найдите

Конечно! Давайте начнем с первой задачи и найдем функцию \(y=f(x)\), которая является четной и задана выражением \(f(x)=x^4\cdot \cot(2x)\).

Чтобы понять, какая функция является четной, нам нужно знать основные свойства четности функции. Функция \(f(x)\) называется четной, если при смене знака аргумента \(x\) ее значения остаются неизменными, то есть для любого \(x\) верно, что \(f(x) = f(-x)\).

Давайте проверим, является ли функция \(f(x)\) четной, подставив \(-x\) вместо \(x\) в данное выражение:

\[f(-x) = (-x)^4 \cdot \cot(2(-x)) = x^4 \cdot \cot(-2x)\]

Поскольку \(\cot(-2x)\) является четной функцией, то мы можем переписать его в виде \(\cot(2x)\):

\[f(-x) = x^4 \cdot \cot(2x)\]

Обратите внимание, что полученное выражение совпадает с исходной функцией \(f(x)\). Следовательно, функция \(f(x)\) является четной, потому что при замене \(x\) на \(-x\) значение функции не меняется.

Теперь перейдем ко второй задаче, где нужно найти функцию \(y=f(x)\), которая является нечетной и задана выражением \(f(x)=x^5 \cdot \tan(2x)\).

Функция \(f(x)\) называется нечетной, если при смене знака аргумента \(x\) значения функции также меняют знак, то есть для любого \(x\) верно, что \(f(x) = -f(-x)\).

Давайте проверим, является ли функция \(f(x)\) нечетной, подставив \(-x\) вместо \(x\) в данное выражение:

\[f(-x) = (-x)^5 \cdot \tan(2(-x)) = -x^5 \cdot \tan(2x)\]

Обратите внимание, что полученное выражение отличается от исходной функции \(f(x)\) только знаком минус. Это означает, что значения функции \(f(x)\) и \(f(-x)\) различаются только по знаку. Следовательно, функция \(f(x)\) является нечетной.

Таким образом, мы нашли функции \(y=f(x)\), которые удовлетворяют условиям задач: для первой задачи \(f(x) = x^4 \cdot \cot(2x)\) - это четная функция, и для второй задачи \(f(x) = x^5 \cdot \tan(2x)\) - это нечетная функция.