Найдите плотность вероятности и функцию распределения случайной величины X, которая представляет рост взрослых мужчин

Для решения данной задачи нам необходимо использовать нормальное (гауссово) распределение, так как рост взрослых мужчин обычно подчиняется этому закону.

Перейдем к решению задачи.

1. Найдем плотность вероятности.
По условию задачи, математическое ожидание случайной величины X равно 175, а отклонение составляет 10. Плотность вероятности в нормальном распределении задается формулой:
\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]
где \(\mu\) - математическое ожидание, а \(\sigma\) - стандартное отклонение.

Подставим значения \(\mu = 175\) и \(\sigma = 10\) в формулу:
\[f(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-175)^2}{200}\right)\]
Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности для роста взрослых мужчин.

2. Найдем функцию распределения.
Функция распределения в нормальном распределении определяется следующей формулой:
\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt\]
где \(f(t)\) - функция плотности вероятности.

Вычислить этот интеграл аналитически может быть сложно, поэтому воспользуемся готовыми таблицами или калькулятором для определения значения функции распределения.

3. Найдем вероятность того, что ни один из трех случайно выбранных мужчин не будет иметь рост менее \(x_0\).
Мы можем использовать функцию распределения для определения этой вероятности:
\[P(X \geq x_0) = 1 - F(x_0)\]
где \(F(x_0)\) - значение функции распределения при \(x = x_0\).

В данной задаче, поскольку нам нужно найти вероятность того, что ни один из трех случайно выбранных мужчин не будет иметь рост менее \(x_0\), мы можем удобно использовать функцию распределения с выбранным значением \(x_0\) для нахождения этой вероятности.

Таким образом, применив формулы, мы можем найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины X, а также вероятность того, что ни один из трех случайно выбранных мужчин не будет иметь рост менее заданного значения.