Найдите отношение суммы чисел, стоящих в 15–20 строках треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящих в 25–30 строках

Для решения данной задачи мы сначала должны построить треугольник Паскаля и затем вычислить суммы чисел в указанных строках.

Треугольник Паскаля - это треугольная форма чисел, в которой каждое число получается путем сложения двух чисел, находящихся над ним, в предыдущей строке. Строки треугольника Паскаля начинаются и заканчиваются значением 1, а внутри заполняются остальные числа согласно этому правилу.

Вот как выглядит начало треугольника Паскаля:

\[1\]
\[1 \quad 1\]
\[1 \quad 2 \quad 1\]
\[1 \quad 3 \quad 3 \quad 1\]
\[1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\]

Чтобы вычислить суммы чисел в указанных строках, нам нужно сложить все числа, стоящие в этих строках. В данном случае, мы должны сложить числа, стоящие в строках с 15 по 20 и числа, стоящие в строках с 25 по 30.

Для начала, вычислим сумму чисел в 15-20 строках треугольника Паскаля:

\[15-ая\text{ строка: } 1 \quad 14 \quad 91 \quad 364 \quad 1001 \quad 2001 \quad 3003 \quad 3432 \quad 3003 \quad 2001 \quad 1001 \quad 364 \quad 91 \quad 14 \quad 1\]
\[16-ая\text{ строка: } 1 \quad 15 \quad 105 \quad 455 \quad 1365 \quad 3003 \quad 5005 \quad 6435 \quad 6435 \quad 5005 \quad 3003 \quad 1365 \quad 455 \quad 105 \quad 15 \quad 1\]
\[17-ая\text{ строка: } 1 \quad 16 \quad 120 \quad 560 \quad 1820 \quad 4368 \quad 8008 \quad 11440 \quad 12870 \quad 11440 \quad 8008 \quad 4368 \quad 1820 \quad 560 \quad 120 \quad 16 \quad 1\]
\[18-ая\text{ строка: } 1 \quad 17 \quad 136 \quad 816 \quad 3060 \quad 8568 \quad 18564 \quad 31824 \quad 43758 \quad 48620 \quad 43758 \quad 31824 \quad 18564 \quad 8568 \quad 3060 \quad 816 \quad 136 \quad 17 \quad 1\]
\[19-ая\text{ строка: } 1 \quad 18 \quad 153 \quad 969 \quad 3876 \quad 11628 \quad 27132 \quad 50388 \quad 75582 \quad 92378 \quad 92378 \quad 75582 \quad 50388 \quad 27132 \quad 11628 \quad 3876 \quad 969 \quad 153 \quad 18 \quad 1\]
\[20-ая\text{ строка: } 1 \quad 19 \quad 171 \quad 1140 \quad 4845 \quad 15504 \quad 38760 \quad 77520 \quad 125970 \quad 167960 \quad 184756 \quad 167960 \quad 125970 \quad 77520 \quad 38760 \quad 15504 \quad 4845 \quad 1140 \quad 171 \quad 19 \quad 1\]

Теперь вычислим сумму чисел в 25-30 строках треугольника Паскаля:

\[25-ая\text{ строка: } 1 \quad 24 \quad 276 \quad 2024 \quad 10626 \quad 42504 \quad 134596 \quad 346104 \quad 735471 \quad 1307504 \quad 1961256 \quad 2496144 \quad 2704156 \quad 2496144 \quad 1961256 \quad 1307504 \quad 735471 \quad 346104 \quad 134596 \quad 42504 \quad 10626 \quad 2024 \quad 276 \quad 24 \quad 1\]
\[26-ая\text{ строка: } 1 \quad 25 \quad 300 \quad 2300 \quad 12650 \quad 53130 \quad 177100 \quad 480700 \quad 1081575 \quad 2042975 \quad 3268760 \quad 4457400 \quad 5200300 \quad 5200300 \quad 4457400 \quad 3268760 \quad 2042975 \quad 1081575 \quad 480700 \quad 177100 \quad 53130 \quad 12650 \quad 2300 \quad 300 \quad 25 \quad 1\]
\[27-ая\text{ строка: } 1 \quad 26 \quad 325 \quad 2600 \quad 14950 \quad 65780 \quad 230230 \quad 657800 \quad 1562275 \quad 3124550 \quad 5311735 \quad 7726160 \quad 9657700 \quad 10400600 \quad 9657700 \quad 7726160 \quad 5311735 \quad 3124550 \quad 1562275 \quad 657800 \quad 230230 \quad 65780 \quad 14950 \quad 2600 \quad 325 \quad 26 \quad 1\]
\[28-ая\text{ строка: } 1 \quad 27 \quad 351 \quad 2925 \quad 17550 \quad 80730 \quad 296010 \quad 888030 \quad 2220075 \quad 4686825 \quad 8436285 \quad 13037895 \quad 17383860 \quad 20058300 \quad 20058300 \quad 17383860 \quad 13037895 \quad 8436285 \quad 4686825 \quad 2220075 \quad 888030 \quad 296010 \quad 80730 \quad 17550 \quad 2925 \quad 351 \quad 27 \quad 1\]
\[29-ая\text{ строка: } 1 \quad 28 \quad 378 \quad 3276 \quad 20475 \quad 98280 \quad 376740 \quad 1184040 \quad 3108105 \quad 6906900 \quad 13123110 \quad 21474180 \quad 30421755 \quad 37442160 \quad 40116600 \quad 37442160 \quad 30421755 \quad 21474180 \quad 13123110 \quad 6906900 \quad 3108105 \quad 1184040 \quad 376740 \quad 98280 \quad 20475 \quad 3276 \quad 378 \quad 28 \quad 1\]
\[30-ая\text{ строка: } 1 \quad 29 \quad 406 \quad 3654 \quad 23751 \quad 118755 \quad 475020 \quad 1560780 \quad 4292145 \quad 10015005 \quad 20030010 \quad 34597290 \quad 51895935 \quad 67863915 \quad 77558760 \quad 77558760 \quad 67863915 \quad 51895935 \quad 34597290 \quad 20030010 \quad 10015005 \quad 4292145 \quad 1560780 \quad 475020 \quad 118755 \quad 23751 \quad 3654 \quad 406 \quad 29 \quad 1\]

Теперь, когда у нас есть значения сумм чисел в указанных строках треугольника Паскаля, мы можем вычислить отношение этих сумм:

Отношение суммы чисел в 15–20 строках треугольника Паскаля к сумме чисел в 25–30 строках треугольника Паскаля равно:

\[\frac{1+14+91+364+1001+2001+3003+3432+3003+2001+1001+364+91+14+1}{1+24+276+2024+10626+42504+134596+346104+735471+1307504+1961256+2496144+2704156+2496144+1961256+1307504+735471+346104+134596+42504+10626+2024+276+24+1} = \frac{15504}{77520} \approx 0.2\]

Отношение суммы чисел в 15–20 строках треугольника Паскаля к сумме чисел в 25–30 строках треугольника Паскаля примерно равно 0.2