Найдите квадрат целого числа n (> 0), используя следующую формулу для его вычисления: n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2·n

Хорошо, рассмотрим эту задачу более подробно.

Формула для вычисления квадрата целого числа n, используя данную последовательность слагаемых, записана следующим образом:

\[n^2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)\]

Давайте начнем с n = 1:

Когда n = 1:
\[1^2 = 1\]

Когда n = 2:
\[2^2 = 1 + 3 = 4\]

Когда n = 3:
\[3^2 = 1 + 3 + 5 = 9\]

Когда n = 4:
\[4^2 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\]

Мы можем заметить, что это соответствует квадратам целых чисел. Но чтобы доказать это, давайте проанализируем общий шаг этого решения:

После добавления первого слагаемого 1, сумма становится равной 1.
После добавления второго слагаемого 3, сумма становится равной 1 + 3 = 4.
После добавления третьего слагаемого 5, сумма становится равной 1 + 3 + 5 = 9.
И так далее...

Мы можем заметить, что каждое слагаемое в этой формуле соответствует нечетному числу, начиная с 1. Чтобы доказать, что полученная сумма является квадратом целого числа, давайте воспользуемся математической индукцией:

Базовый случай:
При n = 1, получаем \(1^2 = 1\), что является квадратом целого числа.

Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого целого числа k формула выполняется, то есть \(k^2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1)\). Мы хотим доказать, что формула также выполняется для k + 1.

При k + 1 имеем:
\((k + 1)^2 = k^2 + (2(k + 1) - 1)\)
\((k + 1)^2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1)\)
\((k + 1)^2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) + (2k + 1)\)

Мы видим, что последнее слагаемое (2k + 1) является следующим нечетным числом после (2k - 1). Следовательно, добавление этого слагаемого приводит к увеличению суммы на значение (2k + 1), что соответствует квадрату следующего целого числа. Таким образом, формула также выполняется для k + 1.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого числа n, квадрат этого числа может быть вычислен как сумма последовательности нечетных чисел, начиная с 1 и заканчивая (2n - 1).

Надеюсь, это решение понятно для вас.