Найдите координаты точки D, если известно, что точки A (-2; -4; 1), B (-5; -6; -1), C (4; 10; 3) образуют

Чтобы найти координаты точки D и определить центр симметрии параллелограмма ABCD, нам понадобится использовать свойства параллелограмма.

Шаг 1: Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\[\overrightarrow{AB} = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}) = (-5 + 2, -6 + 4, -1 - 1) = (-3, -2, -2)\]
\[\overrightarrow{AC} = (x_{C} - x_{A}, y_{C} - y_{A}, z_{C} - z_{A}) = (4 + 2, 10 + 4, 3 - 1) = (6, 14, 2)\]

Шаг 2: Используем свойство параллелограмма, согласно которому вектор, соединяющий середины диагоналей, равен сумме векторов диагоналей. Обозначим середину диагонали AC как точку M. Тогда координаты точки M равны средним значениям координат концов этой диагонали:
\[x_{M} = \frac{{x_{A} + x_{C}}}{2} = \frac{{-2 + 4}}{2} = 1\]
\[y_{M} = \frac{{y_{A} + y_{C}}}{2} = \frac{{-4 + 10}}{2} = 3\]
\[z_{M} = \frac{{z_{A} + z_{C}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\]

Шаг 3: Вычислим координаты вектора, соединяющего точку B и точку M:
\[\overrightarrow{BM} = (x_{M} - x_{B}, y_{M} - y_{B}, z_{M} - z_{B}) = (1 - (-5), 3 - (-6), 2 - (-1)) = (6, 9, 3)\]

Шаг 4: Найдем координаты точки D, используя свойства параллелограмма. Вектор \(\overrightarrow{BD}\) равен \(\overrightarrow{AC}\) и имеет координаты (6, 14, 2). Таким образом, координаты точки D можно найти, прибавив вектор \(\overrightarrow{BD}\) к координатам точки B:
\[x_{D} = x_{B} + x_{BD} = -5 + 6 = 1\]
\[y_{D} = y_{B} + y_{BD} = -6 + 14 = 8\]
\[z_{D} = z_{B} + z_{BD} = -1 + 2 = 1\]

Таким образом, координаты точки D равны (1, 8, 1).

Шаг 5: Чтобы найти координаты центра симметрии параллелограмма ABCD, нам нужно найти среднее значение координат вершин параллелограмма. Зная координаты точек A, B, C и D, мы можем найти средние значения каждой координаты:
\[x_{\text{цс}} = \frac{{x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D}}}{4} = \frac{{-2 - 5 + 4 + 1}}{4} = -\frac{1}{2}\]
\[y_{\text{цс}} = \frac{{y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D}}}{4} = \frac{{-4 - 6 + 10 + 8}}{4} = 2\]
\[z_{\text{цс}} = \frac{{z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}}}{4} = \frac{{1 - 1 + 3 + 1}}{4} = 1\]

Таким образом, координаты центра симметрии параллелограмма ABCD равны \(-\frac{1}{2}\), 2, 1.