Найдите количество целых чисел и наибольшее из них, которые принадлежат числовому отрезку [1082; 129932] и имеют цифры

Для решения этой задачи мы будем использовать следующий алгоритм:

1. Найдем наибольшее число четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию. Все эти числа начинаются с цифры 9, так как мы рассматриваем числа в порядке убывания при чтении слева направо. Поскольку количество делителей каждого из этих чисел должно быть кратно трём, мы должны найти наибольшее число, которое имеет делители в количестве, кратном трём. Для этого найдем наибольшее простое число из делителей: 2, 3, 5, 7. Это число будет само делиться на 3, 6, 9, 12 и т.д. Таким образом, самым большим простым числом из делителей будет 7. Теперь мы можем сформировать число, состоящее из цифр 9, повторенных определенное количество раз. Чтобы количество делителей этого числа было кратно трём, оно должно иметь следующую форму: \(9^n\), где n - число повторений цифры 9.

2. Найдем наименьшее число пятизначных чисел, удовлетворяющих условию. Все эти числа начинаются с цифры 8. Поскольку количество делителей каждого из этих чисел должно быть кратно трём, наименьшее такое число будет иметь самый маленький простой делитель из списка 2, 3, 5, 7. Это число будет делиться на 2, 6, 12 и т.д. Таким образом, самым маленьким числом, удовлетворяющим условию, будет число 8, повторенное определенное количество раз. Чтобы количество делителей этого числа было кратно трём, оно должно иметь следующую форму: \(8^n\), где n - число повторений цифры 8.

Теперь мы можем подсчитать количество целых чисел и наибольшее из них, удовлетворяющих условию.

Количество целых чисел:
Числа в порядке убывания, начинающиеся с цифры 9, будут иметь вид \(9^n\), где n - число повторений 9. Таким образом, мы можем применить следующую формулу, чтобы найти количество этих чисел:
\((9^n - 1) / 8\)
Теперь мы знаем, что самое маленькое натуральное число, удовлетворяющее уравнению \(9^n \geq 1082\), равно 4. Для самого большого числа расчет будет следующим образом:
\(9^n \leq 129932\) и \(n = 4\).
Используя эти значения, у нас:
\((9^4 - 1) / 8 = 81\)

Наибольшее число:
Наибольшее число будет иметь цифры, записанные в порядке убывания при чтении слева направо. Здесь n представляет количество цифр в числе:
\(9 \cdot 10^{n-1} + 8 \cdot 10^{n-2} + ... + 1\)
Подставляя n = 81, мы можем рассчитать наибольшее число:
\(9 \cdot 10^{81-1} + 8 \cdot 10^{81-2} + ... + 1 = 9999...9988...81\)

Таким образом, ответ на задачу:
Количество целых чисел: 81
Наибольшее число: 9999...9988...81