Напишите уравнение окружности с центром в точке К (-2; 3) и радиусом, равным длине отрезка КР, если

данный отрезок имеет координаты Р(4; -1).

Чтобы найти уравнение окружности, сначала определим радиус, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[ d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \]

где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) - это координаты двух точек, а \( d \) - расстояние между ними.

В нашем случае, координаты точки К равны (-2, 3) и координаты точки Р равны (4, -1). Подставим их в формулу:

\[ d = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}} \]

\[ d = \sqrt{{(4 + 2)^2 + (-1 - 3)^2}} \]

\[ d = \sqrt{{6^2 + (-4)^2}} \]

\[ d = \sqrt{{36 + 16}} \]

\[ d = \sqrt{{52}} \]

\[ d = 2\sqrt{{13}} \]

Теперь, когда мы знаем радиус окружности, мы можем написать уравнение окружности с центром в точке К и радиусом \(2\sqrt{{13}}\). Уравнение окружности имеет следующий вид:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

где (h, k) - координаты центра окружности, а \( r \) - радиус окружности.

В нашем случае, (h, k) = (-2, 3), а \( r = 2\sqrt{{13}} \). Подставим значения в уравнение окружности:

\[ (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{{13}})^2 \]

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 \cdot 13 \]

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52 \]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке К(-2;3) и радиусом, равным длине отрезка КР, где Р (4; -1), будет иметь вид:

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52 \]