На якій дистанції від лінзи, з оптичною силою 5 дптр, знаходиться дійсне зображення, яке масштабоване в чотири рази?

Для решения этой задачи нам понадобятся две формулы: формула тонкой линзы и формула масштабирования изображений.

Формула тонкой линзы выглядит следующим образом:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

где:
\(f\) - фокусное расстояние линзы (оптическая сила),
\(d_o\) - расстояние от предмета до линзы,
\(d_i\) - расстояние от линзы до изображения.

Формула масштабирования изображения:

\[\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}\]

где:
\(h_i\) - высота изображения,
\(h_o\) - высота предмета.

В данной задаче нам известны оптическая сила линзы \(f = 5\) дптр и масштабирование изображения \(\frac{h_i}{h_o} = 4\).

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем расстояние от предмета до линзы (\(d_o\)) с помощью формулы тонкой линзы.

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Учитывая, что изображение действительное (\(d_i > 0\)), перепишем уравнение:

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Шаг 2: Используя формулу масштабирования изображений, найдем отношение расстояний между изображением и предметом.

\[\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{1} = -\frac{d_i}{d_o}\]

Шаг 3: Зная отношение расстояний между изображением и предметом (\(\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}\)), можем связать расстояние от предмета до линзы (\(d_o\)) и расстояние от линзы до изображения (\(d_i\)):

\[\frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{1} = \frac{d_i}{d_o}\]

Шаг 4: Полученные уравнения можно решить методом подстановки или преобразования. Я воспользуюсь методом подстановки. Подставим значение \(\frac{4}{1}\) в уравнение из шага 2:

\[\frac{4}{1} = -\frac{d_i}{d_o}\]

Теперь, воспользовавшись уравнением из шага 3, найдем значение \(\frac{d_i}{d_o}\):

\[\frac{4}{1} = \frac{d_i}{d_o}\]

Шаг 5: Теперь у нас есть значение \(\frac{d_i}{d_o}\), которое равняется \(\frac{4}{1}\). Вернемся к уравнению из шага 1:

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Мы можем заменить \(\frac{1}{d_i}\) на \(\frac{1}{d_o} \cdot \frac{4}{1}\):

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o} \cdot \frac{4}{1}\]

Сократим общий множитель \(\frac{1}{d_o}\):

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} (1 + 4)\]

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o} \cdot \frac{5}{1}\]

Сократим общий множитель \(\frac{1}{d_o}\):

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{d_o}\]

Отсюда видно, что расстояние от предмета до линзы (\(d_o\)) равно 5 единицам длины.

Итак, ответ на задачу: действительное изображение, масштабированное в 4 раза, находится на расстоянии 5 единиц длины от линзы.