На сколько раз отличаются линейные скорости шара и полого цилиндра одинаковой массы, когда они равномерно катятся

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать принцип сохранения энергии. При равномерном движении без скольжения скорость шара и цилиндра будет связана с их кинетической энергией. Из принципа сохранения энергии можно записать уравнение:

\[ \frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2 \]

где \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы шара и цилиндра соответственно, а \( v_1 \) и \( v_2 \) - их линейные скорости.

Поскольку массы шара и цилиндра одинаковы, то \( m_1 = m_2 = m \). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 \]

Теперь нам нужно выразить скорости шара и цилиндра. Обратите внимание, что скорость \( v \) связана с угловой скоростью \( \omega \) и радиусом \( r \) следующим образом:

\[ v = \omega \cdot r \]

Для шара \( r = 1 \), потому что это радиус шара, а для цилиндра \( r = \frac{1}{2\pi} \), так как \( r \) обратно пропорционален длине цилиндра. Подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{1}{2}m(\omega_1 \cdot 1)^2 = \frac{1}{2}m(\omega_2 \cdot \frac{1}{2\pi})^2 \]

Упростим уравнение, избавившись от массы \( m \):

\[ \frac{1}{2}(\omega_1)^2 = \frac{1}{2}(\omega_2)^2 \cdot \frac{1}{(2\pi)^2} \]

Теперь можно выразить отношение угловых скоростей:

\[ \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{2\pi} \]

Наконец, отношение линейных скоростей \( v_1 \) и \( v_2 \) равно отношению угловых скоростей (\( \frac{v_1}{v_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2} \)). Подставим значение отношения угловых скоростей:

\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2\pi} \]

Таким образом, линейные скорости шара и цилиндра отличаются в \( \frac{1}{2\pi} \) раза.