На сколько раз отличаются линейные скорости шара и полого цилиндра одинаковой

Question

Физика: На сколько раз отличаются линейные скорости шара и полого цилиндра одинаковой массы, когда они равномерно катятся без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической

Мирослав · Accepted Answer

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать принцип сохранения энергии. При равномерном движении без скольжения скорость шара и цилиндра будет связана с их кинетической энергией. Из принципа сохранения энергии можно записать уравнение:

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}

где

m_{1}

и

m_{2}

- массы шара и цилиндра соответственно, а

v_{1}

и

v_{2}

- их линейные скорости.

Поскольку массы шара и цилиндра одинаковы, то

m_{1} = m_{2} = m

. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

\frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2}

Теперь нам нужно выразить скорости шара и цилиндра. Обратите внимание, что скорость

v

связана с угловой скоростью

ω

и радиусом

r

следующим образом:

v = ω \cdot r

Для шара

r = 1

, потому что это радиус шара, а для цилиндра

r = \frac{1}{2 π}

, так как

r

обратно пропорционален длине цилиндра. Подставим эти значения в уравнение:

\frac{1}{2} m (ω_{1} \cdot 1)^{2} = \frac{1}{2} m (ω_{2} \cdot \frac{1}{2 π})^{2}

Упростим уравнение, избавившись от массы

m

:

\frac{1}{2} (ω_{1})^{2} = \frac{1}{2} (ω_{2})^{2} \cdot \frac{1}{(2 π)^{2}}

Теперь можно выразить отношение угловых скоростей:

\frac{ω_{1}}{ω_{2}} = \frac{1}{2 π}

Наконец, отношение линейных скоростей

v_{1}

и

v_{2}

равно отношению угловых скоростей (

\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{ω_{1}}{ω_{2}}

). Подставим значение отношения угловых скоростей:

\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{2 π}

Таким образом, линейные скорости шара и цилиндра отличаются в

\frac{1}{2 π}

раза.

На сколько раз отличаются линейные скорости шара и полого цилиндра одинаковой массы, когда они равномерно катятся

Мирослав

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!