На сколько раз больше радиус звезды по сравнению с радиусом Солнца, если её фотосфера имеет такую же температуру

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать понятие светимости и закона Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана утверждает, что светимость тела пропорциональна четвертой степени его температуры:

\[L = \sigma \cdot T^4\]

где \(L\) - светимость, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(5.67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2 \cdot \text{К}^4\)) и \(T\) - температура фотосферы.

Мы знаем, что светимость новой звезды превышает солнечную в 10 000 раз:

\[L_{\text{новой звезды}} = 10 000 \cdot L_{\text{Солнца}}\]

Также известно, что температура фотосферы новой звезды такая же, как и у Солнца.

Подставим известные значения в формулу Стефана-Больцмана для Солнца:

\[L_{\text{Солнца}} = \sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4\]

Теперь найдем светимость новой звезды:

\[L_{\text{новой звезды}} = 10 000 \cdot \sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4\]

Из данных задачи следует, что радиус фотосферы новой звезды должен быть на сколько-то раз больше, чем радиус фотосферы Солнца. Обозначим этот коэффициент увеличения радиуса за \(k\).

Теперь мы можем сравнить светимости новой звезды и Солнца:

\[\sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4 = k^2 \cdot \sigma \cdot T_{\text{новой звезды}}^4\]

Поскольку температуры фотосфер равны, то можно записать соотношение для светимостей:

\[1 = k^2 \cdot \left(10 000 \cdot \sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4\right)\]

Теперь найдем значение коэффициента \(k\):

\[k = \sqrt{\frac{1}{10 000 \cdot \sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4}}\]

Закон Стефана-Больцмана даёт нам информацию о том, что светимость звезды пропорциональна радиусу в четвертой степени:

\[L = \sigma \cdot R^2\]

Поскольку мы хотим сравнить радиусы, то можно записать отношение светимостей новой звезды и Солнца:

\[\frac{L_{\text{новой звезды}}}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{\sigma \cdot R_{\text{новой звезды}}^2}{\sigma \cdot R_{\text{Солнца}}^2}\]

Упрощаем:

\[\frac{L_{\text{новой звезды}}}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{R_{\text{новой звезды}}^2}{R_{\text{Солнца}}^2}\]

Подставляем значения:

\[\frac{\sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4}{10 000 \cdot \sigma \cdot T_{\text{Солнца}}^4} = \frac{R_{\text{новой звезды}}^2}{R_{\text{Солнца}}^2}\]

Упрощаем:

\[\frac{1}{10 000} = \frac{R_{\text{новой звезды}}^2}{R_{\text{Солнца}}^2}\]

Используем полученное соотношение для коэффициента \(k\):

\[\frac{1}{10 000} = \frac{k^2}{1}\]

Находим коэффициент \(k\):

\[k^2 = \frac{1}{10 000}\]
\[k = \sqrt{\frac{1}{10 000}}\]
\[k = \frac{1}{100}\]

Таким образом, радиус новой звезды в \(100\) раз больше радиуса Солнца.