На сколько нужно увеличить температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость удвоилась? (1.19

Для того чтобы решить эту задачу, мы должны использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает энергетическую светимость и температуру абсолютно черного тела. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

\[P = \sigma A T^4\]

Где:
- \(P\) - энергетическая светимость тела,
- \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, {\text{{Вт}} \over \text{{м}}^2 \cdot \text{{К}}^4}\)),
- \(A\) - площадь поверхности тела,
- \(T\) - температура тела в кельвинах.

В задаче нам дано, что энергетическая светимость должна удвоиться. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) - исходная и удвоенная энергетическая светимость соответственно. Мы можем записать это следующим образом:

\[P_2 = 2P_1\]

Так как энергетическая светимость связана с температурой, мы можем записать соотношение между этими двумя значениями:

\[\sigma A T_2^4 = 2(\sigma A T_1^4)\]

Здесь \(T_1\) - исходная температура, а \(T_2\) - новая температура, на которую нужно увеличить температуру абсолютно черного тела.

Теперь давайте решим это уравнение для \(T_2\):

\[\sigma A T_2^4 = 2(\sigma A T_1^4)\]

Перенесем \(\sigma A T_1^4\) на правую сторону:

\[\sigma A T_2^4 - 2(\sigma A T_1^4) = 0\]

Факторизуем общий множитель \(\sigma A\), чтобы сократить его:

\(\sigma A (T_2^4 - 2T_1^4) = 0\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(\sigma A\):

\[T_2^4 - 2T_1^4 = 0\]

Добавим \(2T_1^4\) к обеим сторонам:

\[T_2^4 = 2T_1^4\]

Возьмем корень четвертой степени от обеих сторон:

\[T_2 = \sqrt[4]{2} \cdot T_1\]

Таким образом, чтобы удвоить энергетическую светимость абсолютно черного тела, нужно увеличить его температуру в \(\sqrt[4]{2}\) раза.